Wahre oder Falsche Aussagen über Erzeugnisse, der Vereinigungen und deren Schnitt

Question

Aufgabe:

Es sei V ein K-Vektorraum. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch?
Begründen Sie!
a) Für alle U ≤ V ist ⟨U⟩ = U
b) Für alle U, W ≤ V ist U ∪ W ≤ V
c) Für alle U ≤ V ist U + U = U
d) Für alle Teilmengen M, N ⊆ V gilt ⟨M ∩ N⟩ = ⟨M⟩ ∩ ⟨N⟩

Problem/Ansatz:

Nach meiner Einschätzung sind alle 4 Aussagen falsch, ist das schonmal soweit korrekt?

und das wären meine Begründung:
a) <U> enthält alle Linearkombinationen von U, wobei U lediglich die Menge aller Vektoren in U darstellt. Das heißt das <U> auch größer als U sein kann.
b) Im Allgemeinen ist die Vereinigung zweier Unterräumen kein Unterraum in V, außer U oder W sind echte Teilmengen (oder besser U ist Unterraum von W oder W Unterraum von V?) voneinander

c)Die Summe eines Unterraums mit sich selbst ergibt nicht wieder den selben Unterraum, außer der Unterraum besteht nur aus dem Nullvektor

d) Im Allgemeinen ist das Erzeugnis des Schnittes von M und N nicht der Schnitt der Erzeugnisse von M und N, außer die Erzeugnisse von M und N sind echte Teilmengen voneinander

Sind diese Begründungen so richtig und ausreichend, oder müsste ich das anders formulieren?

Answer 1

Das heißt das <U> auch größer als U sein kann.

Dann müsstest du ein Beispiel für U angeben können. Zum Beispiel wie im folgenden Fall:

Für alle U, W ≤ V ist U ∪ W ≤ V

Seien

        V = ℝ²,

        U = {x·(1 0)^T | x ∈ ℝ},

        W = {y·(0 1)^T | y ∈ ℝ}.

Dann sind einerseits

        U, W ≤ V,

aber mit

        u := (1 0)^T ∈ U

und

        w := (0 1)^T ∈ W

ist

        u+w ∉ U∪W.

Also ist U∪W kein Untervektorraum von V.

Die Summe eines Unterraums mit sich selbst ergibt nicht wieder den selben Unterraum,

Auch hier müsstest du ein Beispiel angeben können.

Im Allgemeinen ist das Erzeugnis des Schnittes von M und N nicht der Schnitt der Erzeugnisse

Auch hier müsstest du ein Beispiel angeben können.

Wenn du keine Beispiele findest, dann solltest du dir ernsthaft Gedanken machen, ob die entsprechenden Aussagen vielleicht doch wahr sind.