Aufgabe zu Quantoren - Wie mache ich die Probe für wahre oder falsche Aussagen

Question

Es sei X = { x ∈ R | 0 < x ≤ 1}
Man negiere folgende Aussagen. Welche Aussagen sind wahr?

(a) ∀x ∈ X : x^{2} ≤ 1.
(b) ∀x ∈ X : 1/x > 1
(c) ∀x ∈ X : 2x + 1 ≥ -3 + 4x

Zuerst die Fragen 1,2 und 3
(1) Frage müsste die Scheibweise nicht auch so gelten, und was heisst negieren
X = { x | x ∈ R ∧ 0 < x ≤ 1}

Aus der Titelschreibweise, schliesse ich, dass der "Definitionsbereich" (0,1] ist. 
(2) Ist das korrekt ? 

(3) Ich mache die Probe, indem ich den unteren Randpunkt und den oberen Randpunkt einsetze
und schaue welche Aussage wahr ist, wobei ich nicht die Aussage "negiere", weil ich nicht weiss was in so einer Ungleichung negieren bedeutet. Etwas das Gegenteil zeigen ?


Das Ausrechnen bzw. das "Zeigen"

(a) (0.1)^{2} ≤ 1
      0.01 ≤ 1 (wahr) 

      1^{2} ≤ 1 (wahr) 

Somit ist Aussage (a) wahr. 

(b) 1/x > 1 
      1/0.1 > 10 (soweit wahr)

      1/1 > 1 (falsch)

Somit ist Aussage (b) falsch. 

(c) 2x + 1 ≥ -3 + 4x
     2(0.1) + 1 ≥ -3 + 4(0.1)
     0.2 + 1 ≥  -3 + 0.4
    1.2 ≥  -2.6 (soweit wahr)
    
     2(1) + 1 ≥  -3 + 4(1)
     2 + 1 ≥  -3 + 4
     3 ≥  1 (wahr) 

Aussage (c) ist wahr. 


Nachbemerkung: Ich wiederhole ja das Maturajahr und bin mit dem Stoff bisher unterfordert, jetzt habe ich mir ein Buch geholt, was den Stoff für ein Mathestudium beinhaltet. Und da dieser Stoff auch mein Maturastoff abdeckt jedoch viel genauer und vertiefter ist, arbeite ich mit dem. Also an der Abschlussprüfung hab ich im Sommer Mathe bestanden.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Aussagen sowie ihre Negation mit bestimmten Quantoren formulieren

Stichworte: aussagen,quantoren,logik,aussagenlogik,negation

Formuliere die folgenden Aussagen sowie deren Negation mit Hilfe der Quantoren ∀ und ∃. Welche dieser Aussagen sind wahr?
1. Es gibt m,n ∈N mit m+n ∈N und m-n ∈N2. Die Gleichung m²=n+5 besitzt für jedes m∈N eine Lösung m∈N3. Es gibt gerade n∈N, die als Summer zwier Quadratzahlen geschrieben werden können.

Answer 1

Einfacherer Weg:

Löse die Ungleichungen nach dem Doppelpunkt "ganz normal".

a) ∀x ∈ X : x² ≤ 1. 

x^2 ≤ 1 hat L = { x Element R | -1 < x < 1}  
(b) ∀x ∈ X : 1/x > 1 
(c) ∀x ∈ X : 2x + 1 ≥ -3 + 4x  

Schaue dann, ob X ganz in der Lösungsmenge liegt. 

a) ∀x ∈ X : x² ≤ 1. 

x^2 ≤ 1 hat L = { x Element R | -1 < x < 1}  ⊃ X .

Daher ist (a) wahr. 

(b) ∀x ∈ X : 1/x > 1 
(c) ∀x ∈ X : 2x + 1 ≥ -3 + 4x  

(b) und (c) analog. 

Answer 2

die Negation ist die Aussage, welche die vorherige Aussage widerlegt.

Diese bekommst du, indem du den Allquantor durch den Existenzquantor ersetzt und umgekehrt. Des weiteren ist die Ungleichung zu negieren, also das Relations Zeichen zu drehen.

Bei a) wäre es:

∃ x ∈ X : x^2>=1

Comments

Du machst doch sonst keine solchen Anfängerfehler.

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Hab noch Gleichung zu Ungleichung geändert :). Passt jetzt alles?

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Ok super, danke ich zeige also wenn es heisst

∀x ∈ X : x^{2} ≤ 1
Für alle x ∈ X ist x^{2} ≤ 1 wahr

in dem ich dessen negation so quasi "widerlege" und sage (zeige):
Es existiert ein x ∈ X, für das x^{2} > 1 wahr ist.
∃x ∈ X : x^{2} > 1

Also ich glaube jetzt habe ich es verstanden:

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Korrektur letzter Schritt in (c) 

4 < 2x

nicht 4 < 6x