Aussagen mit Quantoren über Folgen interpretieren

Question

Es geht nicht um Beweise, es ist eher eine Verständnisfrage:

(a_n) sei eine Folge

Beispeil 1:

∀N∈ℕ∃ε>0∀n≥N: |a_n|<ε

Zu jeder natürlichen Zahl N existiert mindestens ein ε>0, s.d. für alle n≥N gilt: |a_n|<ε

Beispielfolge: ( a_n ) = 0 , aber auch ( a_n ) = 1+1/n mit ε=k und k>2  

Im Allgemeinen ist es eine Eigenschaft von Folgen, welche von unten und oben beschränkt sein müssen.

Sei "s" die obere und "i " die unter Grenze, dann kann man immer ε=max{|s|+1, |i|+1} setzen.

Oder gibt es derartig beschränkte Folgen für die das nicht gilt?

-----

Beispiel 2: ∃N∈ℕ∀n≥N∃ε>0: |a_n|<ε

Es existiert eine natürlich Zahl N, so dass für alle n≥N ein ε>0 existiert mit: |a_n|<ε

Das gilt bspw. für alle konvergenten Folgen, sowie unbeschränkte, monoton steigende/fallende Folgen. Es gilt auch für nicht-konvergente von unten und oben beschränkten Folgen (siehe Beispiel 1).

Was fällt euch noch dazu ein?

Beweisskizze:

Fall 1:  ( a_n ) sei konvergent, dann existiert für alle ε>0 eine natürliche Zahl N, s.d. für alle n≥N gilt: |a_n-a|<ε' bzw. |a_n|=|a_n- a +a|≤ |a_n-a| + |a| < ε' + |a| := ε für alle n≥N.
Somit konnte ein ε := ε' + |a| für bel. n≥N gefunden weden.

Ähnlcih wie der Beweis zur Beschränktheit konvergenter Folgen.

Fall 2: Sei (a_n)  unbeschränkt und monoton steigend/fallend, für jedes |a_n|∈ℝ existiert nach dem archimedischen Axion eine natürliche Zahl m, so dass |a_n|<m, man setzte somit ε := m. Das N kann beliebig gewählt werden.

Answer 1

Hallo

wenn das wirklich so da steht, ∀N∈ℕ∃ε>0∀n≥N: |a_n|<ε

ist das einfach die Bedingung dass a_n ein Nullfolge ist falsch aufgeschrieben, die richtige Bedingung hat das ∃ bei n und das ∀ bei ε

mit es existiert ein ε kann man keinerlei Konvergenz zeigen, höchstens dass an nicht gegen oo konvergiert, aber  a_n=(-1)^n oder an =7+5*(-1)^n erfüllen diese komisch Behauptung, si soll wohl zeigen, dass vertauschen von ∀ und ∃ zu was sinnlosem führt.

die Beh. für an sagt nur dass an beschränkt ist, und nichts über Konvergenz. (alle ε Beweise kommen mit

∀ε>0  )

auch bei ∃ε>0 gilt dein Fall 2 nicht, denn da hängt das ε ja von n ab, und

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort :)

Ich dachte bei ∃N∈ℕ∀n≥N∃ε>0: |a_n|<ε kann ε von n abhängen, muss es aber nicht.

Ich probiere dann eine Menge von Folgen zu beschreiben, welche ∃N∈ℕ∀n≥N∃ε>0: |a_n|<ε erfüllen und es für zwei Fälle zu beweisen:

Bei Fall 1 habe ich dies probiert für konvergente Folgen zu zeigen, dabei habe ich das N so gewählt, dass es die Konvergenzbedingungen erfüllt sind.

Für dieses N existiert, dann auch ein ε=ε' + |a|, welches die Bedingung ∃N∈ℕ∀n≥N∃ε>0: |a_n|<ε erfüllt, sogar unabhängig vom n≥N.

Ich verstehe nicht , was du mit
"auch bei ∃ε>0 gilt dein Fall 2 nicht, denn da hängt das ε ja von n ab, und
" meinst?
Bei Fall 2  existieren tatsächlich beliebig viele N (also insbesondere "mindestens" eins), für die man immer ein ε mit |a_n|<ε für jedes n≥N definieren kann. Könnte ich ε = ⌈a_n⌉ + n setzen?

---

Hallo

mit der gegebenen Bedingung kannst du doch Konvergenz nicht zeigen, da eine konvergente folge mit GW≠oo auch beschränkt ist ist deine Behauptung 1 ok aber hat keinerlei Nutzen.

Fall 2 sagt doch dein ε ist unbeschränkt, geht gegen oo. Ich denke nicht dass das sinnvoll ist. man will ja mit solchen Vors irgendetwas beweisen , und deine fälle 1 und 2 sind nicht wirklich falsch, aber sinnlos.  Wenn man irgendetwas voraussetzt muss das doch Sinn machen, und man sucht nicht Objekte, die zwar die vors. erfüllen, aber die Vors. kann nicht benutzt werden um die Eigenschaft konvergent oder divergent zu zeigen.

Wenn so eine vors in einer aufgabe kommt sollte man sehen, was daran schlecht ist, und das ist hier eben die Vertauschung von n und ε

lul