Frage zur Übung zu Aussagen und Quantoren

Question

Aufgabe:

Es sei $$X = \big\{ x \in \mathbb{R} : 0 < x ≤ 1\big\} $$

Man negiere folgende Aussagen, welche Aussagen sind wahr ?

b)
\( ∀x \in X : \frac{1}{x} > 1.  \)

Meine Meinung:
Diese Aussage ist \(falsch,\) denn egal welches \(x \in X\) wir nehmen, wir kriegen nie etwas raus was grösser ist als 1. 

Aussage negieren: 
Jetzt negieren wir dies Aussage indem wir den Quantor umdrehen, und somit sagen, es dass es ein \(x \in X\) gibt, für das, das Gegenteil gilt. 

\( ∃x \in X : \frac{1}{x} ≤ 1.  \)

Genau. Setzen wir \(x=1\) ein, gilt \(\frac{1}{1} ≤ 1.  \)
und somit ist die negierte Aussage richtig. 


Frage: 
Eigentlich wollte ich etwas anderes fragen aber durch das eintippen hat sich die Frage von selbst beantwortet, aber trotzdem will ich noch folgende Frage klären: 
Ich habe durch ein paar Übungen gesehen, dass wenn die Aussage Falsch ist, ist ihre Negation wahr und wenn die Aussage wahr ist, ist ihre Negation falsch.
Das kenne ich natürlich schon aus den Wahrheitstafeln. Aber ich vermute diese Übung will zeigen, dass man bei "zu beweisende Aufgaben", beweisen kann, indem man zeigt, dass ihre Negation falsch ist (denn dann ist eine Aussage ja richtig). Vermute ich das richtig  ? Wenn ja, wann oder wie sehe ich welche Variante einfacher ist oder sich in diesem Moment beser eignet. 

Answer 1

Deine Vermutung ist richtig.

Aussage wahr oder negierte Aussage falsch

ist gleichwertig.

Welches man beweist ist davon abhängig, wozu

man eine Idee hat, oder was mir handlicher vorkommt.

Etwa:  "Wurzel aus 2 ist irrational "

wird meistens so bewiesen, dass man annimmt

es wäre rational (Dann ist es "handlicher" ,

man kann es als Bruch schreiben.)

und zeigt dann, dass das nicht möglich ist.

( sog. indirekter Beweis)