Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte (wahre oder falsche Aussagen bestimmen)

Question

"Geben Sie für die wahren Aussagen eine kurze Begründung und für die falschen ein Gegenbeispiel an."

a) Eine differenzierbare Funktion f mit D_f = ℝ kann nur dann eine Extremstelle an der Stelle x_e besitzen, wenn dort f'(x_e) = 0 ist.

b) Sei f eine differenzierbare Funktion mit D_f = ℝ. Hinreichend dafür, dass x_e keine relative Extremstelle von f ist, ist f'(x_e) ≠ 0.

c) Sei f eine differenzierbare Funktion mit D_f = ℝ. f'(x_e) = 0 und f''(x_e) < 0 sind zusammen ein hinreichendes Kriterium für eine relativen Tiefpunkt.

d) Die Funktion f sei eine im Intervall [a ; b] definierte Funktion, die im Inneren dieses Intervals differenzierter ist. Wenn f an eine Stelle x_e ∈ [a ; b] ein absolutes maximum hat, liegt en dieser Stelle eine waagrechte Tangente vor.

e) Bei f eine differenziertere Funktion mit D_f = ℝ. Hat f an der Stelle x_e einen Wendepunk mit einer Wendetangente, die die Steigung Null hat, so liegt an der Stelle x_e ein Sattelpunkt

Mine Meinungen:

a) diese Aussage ist Wahr. Es entstehen Extremstellen wenn f'(x_e) = 0, und bei f'''(x) ≠ 0.

Der VZW der 1. Ableitung ist Zeichen für hoch- und Tiefpunkte.

b) Wahr: denn der VZW der 1. Ableitung ( f'(x) ) ist eine Voraussetzung für eine Extremstelle.

c) Falsch! f''(xe) < 0 gibt den Höhepunkt.

d) Ahh.... Ich bin mir nicht sicher.. Also ich weiß echt nicht...

e) ...richtig?

Kann jemand mir bitte zeigen wie er/sie es machen würden??

Sind die zwei Begründungen für a) und b) ausreichend? Was für eine Begründung für e) schlagen Sie vor?

Und was für ein Gegenbeispiel kann ich für e) benützen???

Ich bedanke mich schon mal im voraus!!   ...please help me...

Comments

Ohne Gewähr

d) Die Funktion f sei eine im Intervall [a ; b] definierte Funktion, die im Inneren dieses Intervals differenzierter ist. Wenn f an eine Stelle xe ∈ [a ; b] ein absolutes maximum hat, liegt en dieser Stelle eine waagrechte Tangente vor.

Es kann sich auch um ein ( globales, absolutes )
Randmaximum handeln. Dann ist eine waagerechte Tangente nicht unbedingt
zwingend

e) Bei f eine differenziertere Funktion mit Df = ℝ. Hat f an der Stelle xe einen Wendepunk mit einer Wendetangente, die die Steigung Null hat, so liegt an der Stelle xe ein Sattelpunkt

Steigung null und Wendepunkt =>
Sattelpunkt

Answer 1

Hallo Sharon,

d) Ahh.... Ich bin mir nicht sicher.. Also ich weiß echt nicht...

Aussage d)  ist falsch. betrachte  f: [1,2] → [1,1/2] mit f(x) = 1/x

f hat in x=1 ein absolutes Maximum aber f '(1) = -1   (→ Tangente nicht waagrecht)

Den Rest hast du richtig erkannt.

Gruß Wolfgang