Aufgabe:
Es sei ℤ[i]={a+bi | a,b∈ℤ} der Ring der Gaußschen Zahlen.
Weiter sei I:=(1+5i) das von 1+5i erzeugte Ideal und R:=ℤ[i]/I.
Für alle z∈ℤ[i] definieren wir ‾z:=z+I∈R und für a∈ℤ bezeichnen wir mit [a] die Restklasse von a in 26ℤ, d.h. [a]=a+26ℤ.
Zeigen Sie folgende Aussagen:
1. Es gilt ‾26=0R .
2. Der Ringhomomorphismus φ: ℤ[i] → ℤ/26ℤ, a+bi ↦ [a+5b] induziert einen Ringisomorphismus R≅ℤ/26ℤ. Sie dürfen dabei als gegeben voraussetzen, dass φ ein Ringhomomorphismus ist.
Problem/Ansatz:
Ich würde vor allem gerne die 1. Aufgabe lösen, weiß aber nicht, ob man die Infos der 2. Aufgabe benutzen muss, deswegen habe ich beide aufgeschrieben.
Was ich bisher habe:
R:=ℤ[i]/I ist ein Faktorring / Restklassenring, also eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition der Restklassen Modulo I.
0R ist das neutrale Element bezüglich dieser Addition.
Die Elemente des Ideals I sind das Erzeugnis von 1+5i, also alle Vielfachen von 1+5i mit anderen Gaußschen Zahlen.
Also I = (1+5i) = { (1+5i)(a+bi) = a-5b+(5a+b)i | a,b∈ℤ } .
Wenn ‾26 das neutrale Element ist, müsste man es auch als ‾0 schreiben können, also ‾26=26+I=‾0=0+I=I ?
Vermutlich sind es dann genau 26 Restklassen in dem Faktorring, nämlich ‾0=‾26, ‾1, ‾2, ..., ‾25 .
Ich habe viel rumprobiert/rumgerechnet und mir ist aufgefallen, dass für den Erzeuger 1+5i das Quadrat der Norm, also 12+52=a2+b2 genau 26 ist.
Nur leider komm ich auf keine richtige Beweisidee :(
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Das Zeichen ‾ soll ein Überstrich sein.
