Kegel: Ein Trichter für 1 Liter Flüssigkeit. Wie hoch muss er sein, wenn der obere Umfang 50 cm beträgt?

Question

1) Auf einem zylinderförmigen Turm, der einen Umfang von 40 m hat, soll ein kegelförmiges Dach gesetz werden, das 18 m hoch sein soll. Berechne die Lange der Dachsparren und das Volumen des Dachraums.

2) Ein kegelförmiger Kieshaufen soll mit einem LKW abtransportiert werden. Berechne das Volumen des Kieshaufes, wenn dieser 2.5 m hoch ist und einen Durchmesser von 4 m hat. Wie oft muss ein LKW, der 2.8 t laden darf, fahren, um den Kies abzutransportieren? Kies hat eine Dichte von 1.9 g/cm³.

3) Ein gleichschenklich, rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlange 6 cm rotiert um eine der Katheten. Berechne das Volumen und die Oberflache des entstehenden Drehkörpers.

4) Ein Trichter soll (ohne Ansatzrohr) 1 Liter Flüssigkeit aufnehmen können. Wie hoch muss er sein, wenn der obere Umfang 50 cm betragt?

5) Ein kegelförmiges Sektglas ist 10 cm hoch und hat einen oberen Durchmesser von 4 cm. Bis zu welcher Höhe muss es gefüllt werden, damit das halbe insgesamt mögliche Volumen eingefüllt ist.

Answer 1

Ich beantworte mal die Frage aus der Überschrift.  Wenn du auch die übrigen Fragen beantwortet haben möchtest, dann melde dich noch mal.

Ein Trichter ist geometrisch betrachtet ein Kegel.
Das Volumen V eines Kegels mit dem Grundflächenradius r und der Höhe h berechnet man mit der Formel:

V = ( 1 / 3 ) * π * r ² * h

Das Volumen V ist gegeben ( V = 1 Liter = 1000 cm ³ ), die Höhe h ist gesucht, also löst man die Formel nach h auf:

h = 3 * V / ( π * r ² )

Nun benötigt man noch den Wert für r. Diesen kann man aus dem Umfang der kreisförmigen Grundfläche ermitteln. Für den Umfang U eines Kreises gilt:

U = 2 * π * r

Auflösen nach r ergibt:

r = U / ( 2 * π )

Setzt man dies in die oben fett gesetzte Formel ein, so erhält man:

h = 3 * V / ( π * ( U / ( 2 * π ) ) ² )

<=> h = 3 * V / ( π * U ² / ( 4 * π ² ) )

[Einmal kürzen mit π :]

<=> h = 3 * V / ( U ² / ( 4 * π ) )

[Bruchrechnung: a / ( b / c ) ) = a * c / b , also: ]

<=> h = 3 * V * 4 * π / U ²

<=> h = 12 * V * π / U ²

Setzt man die gegebenen Werte ein, so erhält man:

h = 12 * 1000 * π / 50 ² ≈ 15,08 cm