Konvergieren die Reihen zwei komplexen Reihen?

Question

Aufgabe: Konvergieren die Reihen?

\( \begin{array}{l}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{6-(-1)^{n}}{4-5(\mathrm{i})^{n}}\right)^{n} \\ \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2+\sqrt{n} \mathrm{i}}{\sqrt{n+1}+\mathrm{i}}\right)^{n}\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich habs mit Quotientenkriterium versucht, also limsup(\( \frac{a_{n+1}}{a_n} \)<1 aber ich komm beim umstellen nach dem aufstellen als \( \frac{\frac{n+1 Zähler}{n+1 Nenner}}{\frac{n Zähler}{n Nenner}} \) nicht weiter, hat wer eine idee? Oder muss ich ein anderes Konvergenzkriterium untersuchen um zu erkennen ob die Folgen

Comments

Du hast doch Chon in Deiner anderen Frage eine Alternative versucht..??

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Ja nachdem ich lange nach Wegen gesucht habe, weil hier niemand antwortet, jetzt häng ich aber drüben weil ich den Lösungsweg nicht raffe.

Answer 1

Mit dem Wurzelkriterium bekommst du doch

\(   \sqrt[n]{|a_n|} =  \sqrt[n]{|a_n|} =|\left(\frac{6-(-1)^{n}}{4-5(\mathrm{i})^{n}}\right)| =\frac{|6-(-1)^{n}|}{|4-5(\mathrm{i})^{n}|}   \)

Für n=4*k hast du also immer \(   \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{|6-1|}{|4-5|}=5  \)

also ist der lim sup größer oder gleich 5 .

==>  Reihe divergiert.