Welche der folgenden Aussagen gelten für jede Abbildung f: X → Y zwischen zwei Mengen X und Y?

Question

Welche der folgenden Aussagen gelten für jede Abbildung \( f: X \rightarrow Y \) zwischen zwei Mengen \( X \) und \( Y \) ? Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

(a) Für alle Teilmengen \( A, B \subset X \) gilt \( f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \).
(b) Für alle Teilmengen \( A, B \subset X \) gilt \( f(A \cup B)=f(A) \cup f(B) \).

(c) Für jede Teilmenge \( A \subset X \) gilt \( f(X \backslash A)=Y \backslash f(A) \).
(d) Für alle Teilmengen \( A, B \subset Y \) gilt \( f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \).
(e) Für alle Teilmengen \( A, B \subset Y \) gilt \( f^{-1}(A \cup B)=f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \).

Ich komme hier irgendwie überhaupt nicht weiter. Hat jemand eine Idee beziehungsweise einen Tipp, wie ich hier vorgehen kann?

Answer 1

Für alle Teilmengen \( A, B \subset X \)

Seien \( A, B \subset X \).

gilt \( f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \).

Mengengleichheit \(M=N\) zeigt man indem man \(M\subseteq N\) und \(N\subseteq M\) zeigt.

Teilmengenbeziehung \(M\subseteq N\) zeigt man, indem man für jedes \(m\in M \) ("Sei \(m\in M\)") zeigt, dass \(M\in N\).

Zu \(f(A \cap B) \subseteq f(A)\cap f(B)\): Sei

        \(y\in f(A \cap B)\).

Sei

        \(x\in A \cap B\) mit \(f(x)=y\).

Dann ist

        \(x\in A\) und \(x\in B\).

Also ist

        \(f(x)\in f(A)\) und \(f(x)\in f(B)\)

und somit

        \(f(x)\in f(A)\cap f(B)\).

Also ist auch

        \(y\in f(A)\cap f(B)\).

Versuch das mal mit \(f(A)\cap f(B) \subseteq f(A \cap B)\). Überlege dir dann, warum es nicht funktioniert. Dadurch stößt du auf ein Gegenbeispiel für \( f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \).