Maximales Volumen mithilfe der Lagrangefunktion.

Question

Spezielle Postpakete haben die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Weiterhin ist vorgeschrieben, dass die Summe S aus Höhe h und Umfang der Grundfläche 480 cm ergeben muss. Bestimmen Sie das maximale Volumen (in Litern) eines derartigen Postpaketes mithilfe der Lagrangefunktion.

Mit Rechenweg bitte.

Vielen Dank

Answer 1

Spezielle Postpakete haben die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Weiterhin ist vorgeschrieben, dass die Summe S aus Höhe h und Umfang der Grundfläche 480 cm ergeben muss. Bestimmen Sie das maximale Volumen (in Litern) eines derartigen Postpaketes mithilfe der Lagrangefunktion!

Zielfunktion:

\(V(a,h)=a^2 \cdot h\) soll maximal werden.

Nebenbedingung:

\(8a+4h=480\) →  \(2a+h=120\)

\(V(a,h,λ)=a^2 \cdot h+λ(2a+h-120)\)

1.) \(V_a(a,h,λ)=2ah+2λ\)

2.)\(V_h(a,h,λ)=a^2+λ\)

3.)\(V_λ(a,h,λ)=2a+h-120\)

1.) \(2ah+2λ=0\)  →  \(λ=-ah\)

2.)\(a^2+λ=0\)   →  \(λ=-a^2\)

1.)-2.)  \(-ah+a^2=0\)→\(-h+a=0\)  →\(a=h\)

\(2a+a=120\)  →\(a=40\)      \(h=40\)

\(V(40,40)=40^2 \cdot 40\)

Das maximale Volumen beträgt \(V=40^{3}cm^{3}=64000cm^{3}=64l\)

Comments

Falls Lagrange nicht verlangt ist:

\(V(a,h)=a^2 \cdot h\) soll maximal werden.

\(8a+4h=480\)→ \(h=120-2a\)

\(V(a)=a^2 \cdot (120-2a)=120a^2-2a^3\)

\(V´(a)=240a-6a^2\)

\(240a-6a^2=0\)

\(40a-a^2=0\)

\(a(40-a)=0\)

\(a_1=0\)

\(a_2=40\)    \(h=40\)

...

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Vielen Dank :)

Wie bist du auf

V(40,40)=40²×40 gekommen?wegen

V_lamda(a,h,lamda)=a² + lamda

Wegen dem?

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\(V(a,h)=a^2 \cdot h\) soll maximal werden.

\(V(40,40)=40^2 \cdot 40\)

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wie kommst Du von

... die Summe S aus Höhe h und Umfang der Grundfläche 480 cm ergeben muss

auf  \(8a+4h=480 \) ?

Ich hätte hier eher auf $$S = h + 4a = 480$$ getippt.

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Ich bin davon ausgegangen, dass es ein Paket ohne Deckfläche nicht gibt.

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Ich bin davon ausgegangen, dass es ein Paket ohne Deckfläche nicht gibt.

keine Ahnung, was Du damit sagen willst !? Man kann auch von einem vollständig verschlossenem Paket die Höhe und den Umfang der Grundfläche messen.

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Es geht hier nicht um persönliche Interpretationen. Die Angabe in der Aufgabenstellung ist eindeutig. Demnach \(h+4a\).

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Also war es nicht ganz richtig?^^

Dann müsste aber nur nich das bedenken

Und die gleichung entsprechend umstellen.

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Verbesserung: (ohne Lagrange)

Zf:

\(V(a,h)=a^2 \cdot h\) soll maximal werden

NB:

\( h + 4a = 480\)  →\( h = 480-4a\)

\(V(a)=a^2 \cdot (480-4a)=480a^2-4a^3\)

\(V'(a)=960a-12a^2\)

\(960a-12a^2=0\)

\(a(960-12a)=0\)

\(a_1=0\) entfällt

\(960-12a=0\)

\(a_2=80\)         \( h = 480-4\cdot80=160\)

\(V(80,160)=80^2 \cdot 160=1024000cm^{3}=1024l \)