Spezielle Postpakete haben die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Weiterhin ist vorgeschrieben, dass die Summe S aus Höhe h und Umfang der Grundfläche 480 cm ergeben muss. Bestimmen Sie das maximale Volumen (in Litern) eines derartigen Postpaketes mithilfe der Lagrangefunktion!
Zielfunktion:
\(V(a,h)=a^2 \cdot h\) soll maximal werden.
Nebenbedingung:
\(8a+4h=480\) → \(2a+h=120\)
\(V(a,h,λ)=a^2 \cdot h+λ(2a+h-120)\)
1.) \(V_a(a,h,λ)=2ah+2λ\)
2.)\(V_h(a,h,λ)=a^2+λ\)
3.)\(V_λ(a,h,λ)=2a+h-120\)
1.) \(2ah+2λ=0\) → \(λ=-ah\)
2.)\(a^2+λ=0\) → \(λ=-a^2\)
1.)-2.) \(-ah+a^2=0\)→\(-h+a=0\) →\(a=h\)
\(2a+a=120\) →\(a=40\) \(h=40\)
\(V(40,40)=40^2 \cdot 40\)
Das maximale Volumen beträgt \(V=40^{3}cm^{3}=64000cm^{3}=64l\)
