Aloha :)
Eine Matrix heißt orthogonal, wenn die Transponierte \(\mathbf A^T\) gleich der Inversen \(\mathbf A^{-1}\) ist.
Für die gesuchte Matrix \(\mathbf A\) muss also gelten:$$\mathbf A\cdot \mathbf A^T=\mathbf1\implies$$$$\left(\begin{array}{cc}0,5 & a\\b & c\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}0,5 & b\\a & c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\implies$$$$\left(\begin{array}{cc}a^2+0,25 & ac+0,5b\\ac+0,5b & b^2+c^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$
Für die Elemente auf der Nebendiagonalen muss gelten:$$ac+0,5b=0\implies2ac+b=0\implies \pink{b=-2ac}$$Für die Elemente auf der Hauptdiagonalen muss gelten:$$1=a^2+\frac14\implies \green{a^2=\frac34}$$$$1=\pink b^2+c^2=(\pink{-2ac})^2+c^2=4\green{a^2}c^2+c^2=4\cdot\green{\frac34}\,c^2+c^2=4c^2\implies\blue{c^2=\frac14}$$
Wir finden daher 4 mögliche Lösungen:
$$1)\quad a=+\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=+\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=-\sqrt{\frac34}$$
$$2)\quad a=+\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=-\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=+\sqrt{\frac34}$$
$$3)\quad a=-\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=+\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=+\sqrt{\frac34}$$
$$4)\quad a=-\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=-\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=-\sqrt{\frac34}$$
