surjektiv injektiv Mengefunktionen

Question

Seien X, Y, Z Mengen, f : X → Y, g : Y → Z Funktionen. Sei h die Verkettung dieser Funktionen, also h(x) = g(f(x)). Zeigen Sie:

(1) Wenn f und g surjektiv sind, so ist h surjektiv.
(2) Wenn f und g injektiv sind, so ist h injektiv.
(3) Wenn f injektiv und g surjektiv ist, so muss h weder injektiv noch surjektiv
sein.

Answer 1

Halte dich an die Definitionen:

Etwa bei (1): Seien f und g surjektiv.

Zu zeigen:  h:X→Z ist surjektiv.

Sei also c∈Z. Dann muss zeigen: Es gibt ein a∈X mit h(a)=c.

Da g surjektiv ist, gibt es ein b∈Y mit g(b)=c.

Da f surjektiv ist, gibt es ein a∈X mit f(a)=b.

Also h(a) = g(f(a))=g(b)=c.  Also gibt es so ein a. q.e.d.

Versuche mal den Rest auch durch Beachtung der Def'en.