Basis und Dimensionen von Vektoren bestimmen

Question

Problem/Ansatz:

T Allgemeinen weiß ich nicht genau wie ich vorgehen soll, wenn ich eine Basis bestimmen will. Kann mir das jemand erklären? Und die Dimension ist doch dann die Anzahl der Basisvektoren richtig?

Ist bei Aufgabe a die Basis dann U an sich selbst und die Dimension dann 4? Oder irre ich mich da?

Und wie sieht das für b und c aus?

Answer 1

a)  U ist doch der von den beiden gegebenen Vektoren erzeugte

Unterraum von ℝ⁴ . Die beiden sind lin. unabhängig, bilden also eine

Basis von U und die Dimension

( Und die Dimension ist doch dann die Anzahl der Basisvektoren)✓

ist also gleich 2.

Bei U∩W kann man überlegen: Wenn ein Vektor in U und in W ist,

dann ist er sowohl eine Linearkombination der Erzeugenden von U

als auch der Erzeugenden von W. Also etwa so:

\(    a \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\1 \end{pmatrix} +   b \begin{pmatrix} 2\\1\\2\\1 \end{pmatrix}=c \begin{pmatrix} -3\\0\\0\\1 \end{pmatrix} +  d \begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\2 \end{pmatrix} \)

Löse das Gl.system und du erhältst eine Darstellung der Elemente von U∩W.

Für U+W nimm alle 4 Erzeugenden zusammen und reduziere zu einem

lin. unabhängigen System, dann hast du eine Basis von U+W.

Comments

bei b komme ich nach Lösung des Gleichungssystems auf (-4,1,0,1)^T als Lösung und somit ist dieser Vektor ja die Basis und deren Dimension ist 1 richtig?

und bei d habe ich alle 4 Vektoren von U und W addiert und gleich dem Nullvektor gesetzt dabei kam ich darauf, dass es für dieses Gleichungssystem keine Lösung gibt, also sind die 4 Vektoren linear unabhängig, also auch eine Basis und haben die Dimension 4 ist das richtig? und das folgende Bild ist mein Lösungsweg

Text erkannt:

Aut L.u prüfen:
\( \begin{array}{l} \text { II } \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+2 \lambda_{4}=0 \Rightarrow \lambda_{1}-\frac{3}{2} \lambda_{1}+\lambda_{3}+2 \cdot \frac{1}{2} \lambda_{1}=0 \Rightarrow \lambda_{3}=-\frac{1}{2} \text { unalhangis } \\ \end{array} \)
\( \Rightarrow \) Demnach ist \( C\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)> \) eive Basis wan \( U+W \) mit der Dimension 4 also \( \operatorname{dim}(u+w)=u \).

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b)  ✓  Weil U∩W genau die Vielfachen von (-4,1,0,1)^T enhält.

c) ist falsch. Die 4 Vektoren sind lin. abhängig. Die aus

ihnen gebildete Matrix hat den Rang 3.  Also kannst du z.B. den

ersten weglassen und hast dann eine Basis von U+W und das

hat dann die Dimension 3.

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Achso also müsste ich bei c den ersten Vektor doch als Linearkombination der anderen drei darstellen können oder?