Lösung einer komplexen Gleichung und Unstetigkeit einer komplexen Funktion

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 2(2+4 \) Punkte).
(a) Sei \( \Delta \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \). Mittels der Polarzerlegung erhält man ein \( r \in(0, \infty) \) und ein \( \theta \in[0,2 \pi) \) mit \( \Delta=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \). Eine Lösung der Gleichung \( w^{2}=\Delta \) ist also gegeben durch \( w:=\sqrt{r} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{\theta}{2}} \). Bestimmen Sie Betrag und Winkel der zweiten Lösung.
(b) Die Erweiterung der Wurzelfunktion von \( [0, \infty) \) auf \( \mathbb{C} \) ist somit
\( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls } z=0, \\ \sqrt{|z|} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{\arg (z)}{2}}, & \text { falls } z \neq 0 . \end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass \( f \) in allen Punkten aus \( (0, \infty) \) unstetig ist.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

leider hab ich mit dem momentanen Übungsblatt größere Schwierigkeiten als normalerweise.

Meine Überlegungen zu (a):

Wahrscheinlich muss man sich zuerst überlegen, was die zweite Lösung ist, Betrag und Winkel zu bestimmen sollte dann kein Problem mehr sein. Ich habe versucht mit Wurzelziehen und Quadrieren einiger Ideen auf die zweite Lösung zu kommen, aber irgendwie kommt nichts richtiges dabei raus. Wahrscheinlich muss man irgendwo ein Minuszeichen setzen (?). Ich habe auch versucht, die Polarform in die trigonometrische Form umzuwandeln, aber das hat auch nichts gebracht.

Zu (b):

Hier wollte ich zuerst die Unstetigkeit im Punkt 0 zeigen, allerdings ist mir keine Folge eingefallen, die gegen etwas anderes als f(z) = 0 konvergiert. Ich habe auch keine Ahnung, wie man an den Fall, dass z ungleich 0 ist herangeht.

Es wäre super, wenn mir jemand einen Hinweis zur Lösung geben könnte.

LG

Comments

Hat niemand eine Idee? :(

Answer 1

a) Aus der Schule solltest Du noch wissen, wie sich die beiden Lösungen von \(x^2=4\) (nur als Beispiel) unterscheiden. Das ist in \(\mathbb{C}\) nicht anders. Rechne das dann um in die Polarform (Skizze hilft fast immer!).

b) Warum willst Du Unstetigkeit in 0 zeigen? Ist doch gar nicht gefragt. Es geht um Unstetigkeit in \(x\in \R, x>0\). Dazu findet man zwei Folgen \(z_n, u_n \in \mathbb{C}\) mit \(z_n\rightarrow x, \; u_n\rightarrow x\) und \(\lim f(z_n)\neq \lim f(u_n)\). Tipp: Skizze für \(x, z_n, u_n\), einmal von unten, einmal von oben. Probiere konkrete(!) Beispiele für Folgen aus.

Comments

Dankeschön für deine Antwort!

Zur (a): Die beiden Lösungen von x² sind natürlich \pm\( \sqrt{4} \).

Ich habe es jetzt mal so versucht:

\( \begin{array}{l}\sqrt{r} \cdot e^{i \frac{\theta}{2}}=\sqrt{r}\left(\cos \frac{\theta}{2}+i \cdot \sin \frac{\theta}{2}\right) \\ =\sqrt{r} \cos \frac{\theta}{2}+i \sqrt{r} \sin \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow-\left(\sqrt{r} \cos \frac{\theta}{2}+i \sqrt{r} \sin \frac{\theta}{2}\right) \\ =-\sqrt{r} \cos \frac{\theta}{2}-i \sqrt{r} \sin \frac{\theta}{2} \\ =-\sqrt{r}\left(\cos \frac{\theta}{2}+i \sin \frac{\theta}{2}\right) \\ =-\sqrt{r} e^{i \frac{\theta}{2}}=w_{2} \\ \left|w_{2}\right|=\sqrt{\left(-\sqrt{r} \cos \frac{\theta}{2}\right)^{2}+\left(-\sqrt{r} \sin \frac{\theta}{2}\right)^{2}} \\ =\sqrt{-r \cos ^{2} \frac{\theta}{2}-r \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} \\ =\sqrt{-r(\underbrace{\left.\cos ^{2} \frac{\theta}{2}+\sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right)}_{1}} \\ =\sqrt{-r} \\ \varphi\left(\omega_{2}\right)=\arctan \left(\frac{-r \cos \frac{\theta}{2}}{-r \sin \frac{\theta}{2}}\right) \\ =\operatorname{arctran}\left(\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}\right) \\ =\arctan \left(\cot \frac{\theta}{2}\right) \\ =\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}=\pi-\theta \\\end{array} \)

Aber irgendwie weiß ich nicht so recht, ob das stimmt? Falls nicht, wie soll ich anders vorgehen?

An der (b) versuche ich mich jetzt mal.

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Ne Skizze hast Du nicht gemacht? An der hättest Du ohne Rechnung den Winkel ablesen können. Eine Skizze vermeidet viele Fehler, gerade bei der Umrechnung. Zu Deiner Rechnung:

wie bereits festgestellt, ist \(w_2=-\sqrt{r}e^{i\frac\theta2\pi}\). Aus der Skizze würdest Du sofort ablesen: \(w_2=\sqrt{r}e^{i\frac{-\theta}2\pi}\), dann auf den Winkel noch \(2\pi\) addieren (damit er im gewünschten Intervall landet), fertig.

Eine reine Rechnung wäre auch einfach, wenn man wüsste, dass \(-1=e^{i\pi}\) (aus der Skizze).

Deine Rechnung ist zu kompliziert, damit fehleranfällig und prompt auch falsch (\(\sqrt{-r}\) gibt es nicht, und der Winkel am Ende stimmt nicht).

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Dankeschön. Ich wollte eine Skizze machen, bin aber zu blöd dafür, die Polarform in einem Koordinatensystem darzustellen.

Ich verstehe auch nicht, wie e^iπ = 1 einem hier weiterhilft.

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Dann lies in Deinen Unterlagen nach, wie man eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene darstellt, sowohl in Koordinatenform als auch in Polarform. Darum geht es in der Aufgabe.

wie \(e^{iπ} = 1\) einem hier weiterhilft.

Das hilft sicher nicht, weil es falsch ist. Lies nochmal den Tipp genau nach und überlege, wo in \(w_2\) eine \(-1\) vorkommt.