Question

Zeigen Sie: Wenn p ≥ 5 eine Primzahl ist, dann ist p2 - 1 durch
24 teilbar.

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Alle Primzahlen ab 5 lassen sich entweder als 6k-1 oder 6k+1 schreiben.

p²-1=(6k±1)²-1 = 36k²±12k=12k(3k±1)

Wenn k gerade ist, ist 12k durch 24 teilbar.

Wenn k ungerade ist, ist 3k±1 gerade und damit p²-1 durch 24 teilbar.

Answer 1

p² - 1 = (p+1)*(p-1)  Da p ungerade und größer als 3 ist, ist von den beiden

Faktoren einer durch 4 und der andere durch 2 teilbar, also das Produkt durch 8.

Außerdem ist p nicht durch 3 teilbar (Primzahl ≥ 5) aber von den dreien

p-1  p  p+1   muss einer durch 3 teilbar sein.

Demnach ist das p-1 oder p+1. Und damit ist (p+1)*(p-1)  durch 8 und durch 3

teilbar, also auch durch 3*8=24.