Beweise im Studium zur Teilbarkeit. p > 3 Primzahl. Zeigen Sie, dass stets gilt: 24 | (p^2 −1).

Question

Beweise im Studium lösen.

Aufgabe:

Sei p ∈N eine Primzahl und es gelte p > 3. Zeigen Sie, dass stets gilt:

 24 | (p^2 −1).

Problem/Ansatz:

kann mir jemand bei dieser Aufgabe beim Ansatz ein wenig zur Hilfe kommen? Ich hätte zunächst an vollständige Induktion nachgedacht? Aber dann ist die Induktionsbehauptung mein Problem. Ich glaube allerdings, dass dies nicht der korrekte Ansatz ist. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

LG

Comments

Faktorisiere mal die Differenz auf der rechten Seite.

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naja wegen der binomischen Formeln entsteht dann (p+1)x(p-1), aber ist mein Gedanke mit der vollständigen Induktion richtig oder führt der zu nichts?

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Vollständig Induktion geht hier auch, meist geht es aber bei solchen Teilbarkeitsüberlegungen ohne Induktion einfacher.

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Ich verstehe nur die Teilbarkeitsüberlegung hier irgendwie nicht :/

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Vollständig Induktion geht hier auch

Sicher? Wie würdest du das machen?

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Sicher?

Jetzt nicht mehr! :-)

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Kann mir wer helfen wie ich diese Teilbarkeitsüberlegungen anstelle?

Answer 1

p^2 - 1 = (p-1)*(p+1)

Schau dir doch mal an welche Zahlen p-1 oder p+1 teilen müssen.

Comments

Ich verstehe nicht worauf du hinaus möchtest. Ich weiß, dass Primzahlen mit sich selber und 1 genau 2 Teiler haben müssen, aber was bringt mir das hier?

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da p > 3 ist folgt, dass p ungerade ist.

Wenn es ungerade ist gilt aber, dass p-1 und p+1 gerade ist.

Es gilt auch, dass entweder p-1 oder p+1 durch drei teilbar ist, da p nicht durch drei teilbar (da p ≠3) ist.( Es muss eine von drei aufeinanderfolgenden Zahlen durch drei teilbar sein (Beweise das).

Auch gilt, dass entweder p-1 oder p+1 durch vier teilbar sein muss ( Da p-1 und p+1 durch zwei teilbar sind und da eine von zwei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen durch vier teibar ist (Beweise das))

Wir haben nun, dass beide durch zwei teilbar sind, eine durch vier und eine durch drei.

Das heißt, dass das Produkt der beiden durch 3 und 8 teilbar ist. (8, da eine Faktor durch vier und der andere durch zwei teilbar ist).

Da 8 und 3 teilerfremd sind folgt das 24 p^2 -1 teilt.

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Für mich ist das noch etwas zu kompliziert, ich bespreche das erstmal morgen mit Kommilitonen. Danke trotzdem dass du mir die Starthilfe gibst :)

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bei mir hängt es daran zu beweisen wie die Teilbarkeit durch 3 gegeben ist, das schaffe ich leider nicht.

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Es gilt auch, dass entweder p-1 oder p+1 durch drei teilbar ist, da p nicht durch drei teilbar (da p ≠3) ist.

Hast du gelesen? Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist genau eine durch drei teilbar.

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Ok ich hab einfach nicht die simple Logik verstanden mit drei aufeinander folgenden Zahlen, danke für deine Hilfe. :)

Answer 2

Alle Primzahlen haben die Form p=6n±1. Dann ist p²-1=12·(3n±1)·n. Entweder ist n gerade oder 3n±1.

Answer 3

Hallo Mary,

Man kann es auch über vollständige Induktion beweisen, aber es ist der umständlichere Weg. Der IMHO 'klassische' Beweis ist der, den minuseinzwölftel in seinem Kommentar beschrieben hat.

Beweis mittels vollständiger Induktion:

Man definiert eine Menge \(Q = \{q \mid q \in \mathbb{N} \land 2 \nmid q \land 3 \nmid q \}\) bzw. in Prosa: die Menge aller natürlichen Zahlen, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. Ist \(P\) die Menge aller Primzahlen, so ist ohne Zweifel \(P \subseteq Q\), d.h in \(Q\) sind alle Primzahlen enthalten.

Beweist man nun für alle \(q \in Q\) mit \(q \ge 5\) dass \(24 \mid q^2-1\), dann muss das auch für alle Primzahlen gelten. Damit es später nicht zu kryptisch wird, zerlege ich \(Q\) noch in 2 Mengen \(Q = U \cup V\) mit der Definition \(U = \{u \in Q \mid u \equiv 5 \mod 6 \} \) und \(V = \{v \in Q \mid u \equiv 1 \mod 6 \} \) und führe den Beweis für beide Mengen einzeln durch. Überlege Dir bitte selbst, dass die Menge \(Q\) damit vollständig erfasst ist.

Induktionsanfang: $$u_1 = 5 \quad \to 24\mid 5^2 - 1$$ Ok - jetzt der Induktionsschritt: Es gilt $$u_{i+1} = u_i + 6$$ Der Übergang von \(i\) nach \(i+1\) $$\begin{aligned} u_{i+1}^2 -1 &= (u_i + 6)^2-1 \\ &= u_i^2 + 12 u_i + 36 - 1 \\ &= (u_i^2 - 1) + 12(u_i + 3)\end{aligned}$$ Lt. Induktionsvoraussetzung gilt \(24 \mid u_i^2-1\) und da \(u_i\) ungerade ist, ist der Term \(u_i+3\) eine gerade Zahl, folglich gilt \(24 \mid 12(u_i+3)\) q.e.d.

Das gleiche macht man nun für \(v_i\) mit Induktionsanfang $$v_1=7 \quad \to 24\mid 7^2-1=48 $$ Der Induktionsschritt ist identisch zu oben.

Zusammengefasst gilt die Annahme \(24\mid p^2-1\) mit \(p \in P \land p \ge5\), da sie für alle Elemente in \(U\) und \(V\) (\(u,v  \ge 5\)) gilt und \(P \subseteq Q = U \cup V\) ist.

Gruß Werner

Comments

Hübscher Induktionsansatz, den ich mir später noch einmal im Detail ansehe. Meiner Meinung nach ist die Formulierung der ersten drei Zeilen nach der Überschrift noch nicht richtig.

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Dann funktioniert der Induktionsbeweis ja doch! Ist aber schon ziemlich umständlich :D