Aufgabe:
Zeige, dass die Normalverteilung Teil der Exponentialfamilie ist, gibt außerdem die ausreichenden Statistiken $t$ und den Parameter $\eta$ an.
Problem/Ansatz:
Die Gauß-Verteilung lautet
$$ p(x,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$
Die Formel der Exponentialfamilie lautet
$$ p(t|\eta)=e^{\eta^T t -A(\eta) + B(t)} $$
Meine Idee ist die folgende:
Schreibe die Gaus Verteilung im Exponenten leicht um:
$$p(x,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} +\frac{x\mu}{\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2}} $$
Hole $\sigma$ aus der Wurzel, logarithmiere und exponenziere und füge beide E-Funktionen zusammen
$$p(x,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} +\frac{x\mu}{\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} - log(\sigma)}. $$
Nun bringe den Rest des Normierungswertes auf die selbe weiße in die Exponentialfunktion
$$p(x,\mu,\sigma^2) = e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} +\frac{x\mu}{\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} - log(\sigma) - log(\sqrt{2\pi })}. $$
Bringe den Exponent nun in die richtige Reihenfolge,
$$p(x,\mu,\sigma^2) = e^{\frac{x\mu}{\sigma^2}-\frac{x^2}{2\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} - log(\sigma) - log(\sqrt{2\pi })} $$
und bringe den Exponenten in die Form der Exponenten Familie
$$p(x,\mu,\sigma^2) = e^{\left(\frac{\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{2\sigma^2}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ x^2 \end{array}\right) -(\frac{\mu^2}{2\sigma^2} + log(\sigma)) - log(\sqrt{2\pi })} $$
Folglich erhalten wir
$$ p(t|\eta)=e^{\eta^T t -A(\eta) + B(t)} $$
mit $$\eta = \left(\frac{\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{2\sigma^2}\right)$$, $$t = \left(\begin{array}{c} x \\ x^2 \end{array}\right)$$, $$A(\eta) = -(\frac{\mu^2}{2\sigma^2} + log(\sigma))$$ und $$B(t) = - log(\sqrt{2\pi })$$
Macht dies in irgendeiner Weise Sinn?
Ich bin für jegliche Hilfe dankbar.
