Zeigen Sie, dass d wirklich eine Metrik ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass d wirklich eine Metrik ist.

Es sei nun d gegeben, definiert durch:
• d(v, w) = 1, für alle v, w ∈ R v ≠ w

• d(v, w) = 0, für alle v, w ∈ R v = w

Problem/Ansatz:

ich muss Null, Symetrie und Dreiecksungleichung zeigen, finde ich auch so schon schwer genug, aber wie soll ich das hier machen ohne Gleichung?

Answer 1

d(v,w)=0 <=> v=w  ist wohl klar.  Denn für v≠w ist ja d(v,w)=1.

Symmetrie d(v,w) = d(w,v)  auch klar; denn v=w bzw. v≠w hängt

ja nicht von der Reihenfolge ab.

Dreiecksungleichung durch Fallunterscheidung.

1. Fall: alle drei verschieden, dann

d(v,w) + d(w,z) = 1 + 1 ≥ 1 = d(v,z)

Und wenn 2 oder sogar alle 3 gleich sind, gibt

es an den Stellen 0en, und dann stimmt es auch.