Aufgabe:
Stetigkeit einer Metrik
Problem/Ansatz:
Sei (X,d) ein metrischer Raum mit einer Metrik d : X×X → R und sei (X×X,d') ein metrischer Raum mit d'((x1,x2),(y1,y2))=d(x1,y1)+d(x2,y2). Zeigen Sie, dass d dann stetig ist.
Im Beweis wird die Stetigkeit von d mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit bewiesen. Der Beweis geht so:
Sei (xn,yn)n∈ℕ eine Folge in X×X und gelte (xn,yn) -> (x,y) mit (x,y) ∈ X×X bezüglich d'. Das bedeutet d'((xn,yn),(x,y)) -> 0. Das ist nun aber per Definition gleichbedeutend mit d(xn,x)+d(yn,y) -> 0 und weil d für jedes Element aus X×X positiv ist, folgt d(xn,x) -> 0 und +d(yn,y) -> 0. Nun müssen wir zeigen, dass | d(xn,yn) - d(x,y) | -> 0. Das wäre ja genau das, was nach dem Folgenkriterium gezeigt werden müsste, um die Stetigkeit von d zu zeigen. Ich weiß ja allerdings nur, dass | d(xn,x - d(yn,y) | -> 0 Es scheint der Fall zu sein, dass man irgendwie die Ungleichung | d(xn,yn) - d(x,y) | <= | d(xn,x) - d(yn,y) | zeigt. Daraus würde dann ja tatsächlich folgen, was wir zeigen wollen. Nur habe ich keinen Schimmer, wie ich diese Ungleichung beweisen kann. Hat jemand dafür eine Idee?
