In den ersten zwei Teilaufgaben gelten die Axiome der absoluten ebenen Geometrie, ohne das Parallelenaxiom. Seien \( K:=K(M, r) \) und \( L:=K(N, s) \) zwei Kreise mit verschiedenen Mittelpunkten \( M \neq N \). Beweisen Sie:
a) Besteht \( K \cap L \) aus genau zwei Punkten \( P, Q \), dann ist die Gerade \( G(M, N) \) durch die Mittelpunkte beider Kreise auch die Mittelsenkrechte der Strecke \( P Q \).
Hinweis: Sei \( R \) der Mittelpunkt von \( P Q \). Was können Sie über die Winkel \( \measuredangle M R P \) und \( \measuredangle N R P \) sagen?
b) Besteht \( K \cap L \) aus genau einem Punkt \( P \), dann liegt \( P \) auf der Geraden \( G(M, N) \) durch die Mittelpunkte beider Kreise, und die Tangente an \( K \) mit Berührpunkt \( P \) ist auch eine Tangente an \( L \).
Hinweis: Wie können die Kreise zueinander liegen? Machen Sie ggf. eine Fallunterscheidung.
In der letzten Teilaufgabe gilt zusätzlich das Parallelenaxiom.
c) In der Situation von Teilaufgabe (b) seien \( g \) und \( h \) zwei verschiedene Geraden durch \( P \), die \( K \) und \( L \) auch in anderen Punkten \( A, B, C, D \) wie folgt schneiden:
Zeigen Sie, dass die Geraden \( G(A, B) \) und \( G(C, D) \) parallel sind.
Hinweis: Der Peripheriewinkelsatz könnte helfen.
