Extremalprobleme - Maximaler Flächeninhalt Dreieck in Quadrat

Question

Aufgabe:

Einem Quadrat mit der Seitenlänge 6m soll ein gleichschenkliges Dreieck wie abgebildet einbeschrieben werden. Wie muss x gewählt werden, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks maximal sein soll?

Abbildung:

Die Spitze des gleichschenkliges Dreieckes befindet sich in der rechten unteren Ecke des Quadrats und verläuft Diagonal in Richtung der linken oberen Ecke. Der Abstand zwischen linker oberer Ecke und den Eckpunkten des Dreiecks wird jeweils mit x beschrieben.

Problem:

Als Hauptbedingung habe ich A(x)=g mal h durch 2, jedoch komme ich nicht auf sinnvolle Nebenbedingungen für g und h.

Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte :)

Comments

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Dann schau mal hier!

Answer 1

~draw~ polygon(0|0 6|0 6|6 0|6);dreieck(6|0 2|6 0|4);text(1|6.3 "x");text(-0.4|5 "x");text(3.5|6.3 "6-x");text(-0.8|2.5 "6-x");zoom(10);aus ~draw~

Die Fläche des grünen Dreiecks wird maximal, wenn die blaue Fläche minimal wird. Die blaue Fläche lässt sich in Abhängigkeit von \( x \) sehr leicht berechnen, da das alles rechtwinklige Dreiecke sind.

Answer 2

A(x) = 6^2 - 1/2·x^2 - 6·(6 - x) = 6·x - 0.5·x^2

A'(x) = 6 - x = 0 → x = 6 m

A(6) = 6·6 - 0.5·6^2 = 18 m²