Bestimmen Sie mit Inklusion-Exklusion die Anzahl der natürlichen Zahlen n ≤ 48 , die nicht durch 2 , 3, oder 5 …?

Question

Bestimmen Sie mit Inklusion-Exklusion die Anzahl der natürlichen Zahlen \( n \leq 48 \), die nicht durch 2 , 3, oder 5 teilbar sind.

Comments

Lösung (brute force) : 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 = 13 Zahlen

Es sind alle Primzahlen 2 bis einschließlich 47 ohne die 5, zuzüglich der 1.

Answer 1

Über das Komplement: Anzahl der natürlichen Zahlen kleiner gleich 48, die durch 2, 3 oder 5 teilbar sind. Wir nennen diese Menge \( A \).

Sei \(A_i \) die Menge der Zahlen kleiner gleich 48, die durch \( i \) teilbar ist. Dann:

\( |A|=|A_2 \cup A_3 \cup A_5|=|A_2|+|A_3|+|A_5|-|A_2 \cap A_3 | - |A_2 \cap A_5| - |A_3 \cap A_5|+ |A_2 \cap A_3 \cap A_5| \).

Rechnen darfst du selbst.