Definitions- und Wertebereich / Funktionswerte bestimmen / Abblidung auf Injektivität prüfen

Question

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2. Sei \( \mathbb{R}_{\geq 0}:=\{x \in \mathbb{R}: x \geq 0\} \) und seien \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}, g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) und \( h:=f \circ g \) drei Abbildungen mit
\( f(z):=|z|, \quad g(z):=-i z . \)
2.1. Geben Sie den Definitions- und Wertebereich von \( h \) an.
2.2. Bestimmen Sie die Funktionswerte \( f(t), g(t) \) sowie \( h(t) \) für \( t:=3+4 i \).
2.3. Überprüfen Sie die Abbildung \( f \) auf Injektivität.
2.4. Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage: \( \forall z \in \mathbb{C}: f(z)=h(z) \).

Answer 1

2.1  \(   h(z)=f(g(z)) = | -i \cdot z | \)  g bildet ℂ auf ganz ℂ ab und dann

der Betrag liefert alle reellen Zahlen ≥0. Also  D(h)=ℂ  und W(h)=ℝ_≥0 .

2.2   \( f(3+4 i)  = \sqrt{9+16} = 5 \)    \(  g(3+4 i)  = -3i + 4  \)

\(  h(3+4 i)  = |-3i + 4| = 5  \) 

2.3 nicht injektiv, da z.B.   \( f(3+4 i)  =  f(3-4 i)  \)

2.4  Sei z= a+bi. Dann gilt   \( f(a+b i)  = \sqrt{a^2+b^2} \)

und \(   h(a+b i)  =  f(-ai +b)  = \sqrt{a^2+b^2} \)

Also immer f(z)=h(z).

Comments

Ich hätte eine Frage zu ihrer Antwort:

Wie kommen Sie bei 2.2 bei g(t) von g(3+4i) auf = -3i+4 ?

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Hat sich geklärt :)

Alles gut