Eigenschaften von Determinanten spezieller Matrizenklassen: Konjugierte und Unitäre Matrizen

Question

(Spezielle Determinanten)
a) Sei \( A \in \mathbb{K}^{n, n} \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{det}\left(A^{*}\right)=\overline{\operatorname{det}(A)} \).
b) Zeigen Sie, dass \( |\operatorname{det}(U)|=1 \), wenn \( U \in \mathbb{K}^{n, n} \) unitär ist.

Answer 1

b) folgt direkt aus a) mit der Produktformel für Determinanten, denn eine unitäre Matrix erfüllt \(UU^H=I\). Und es ist \(\det(U^H)=\overline{\det(U)}\) nach a) (\(U^H=(U^*)^T\)).

Zu a): Leibniz-Formel $$\det (A^*) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n \overline{a_{i, \sigma(i)}}\right)=\ldots$$