Aufgabe:
Bestimmen Sie alle n-ten Wurzeln von z∈C für die folgenden Werte n und z.
Geben Sie das Ergebnis in der Form a+bi mit a,b∈R an.
a.) n=8 und z=1.
b.) n=2 und z=i
Problem/Ansatz:
Ist das so richtig?
Text erkannt:
\( w_{k}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \left(\frac{\theta+2 \pi k}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\theta+2 \pi k}{n}\right)\right) \)
Fü \( z=1 \) and \( n=8 \) gilt
\( r=\sqrt{1^{2}} \)
\( r=1 \)
\( \varphi=\arccos \left(\frac{1}{1}\right) \)
\( \begin{array}{l} w_{0}=\cos (0)+i \sin (0)=1+0 i \\ w_{1}=\cos \left(2 \frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i=0 \\ w_{2}=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=0+i \\ w_{3}=\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i \\ w_{4}=\cos (\pi)+i \sin (\pi)=-1+0 i \\ w_{5}=\cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)=-\pi \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i \\ w_{6}=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=0-i \\ w_{7}=\cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{7 \pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i \end{array} \)
m
