Untersuchung der Konvergenz von diesen Reihen

Question

Aufgabe:

$$\text{Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf ihre Konvergenz:}\\\text{(i) } \sum \limits_{n \geq 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\\\text{(ii) } \sum \limits_{n \geq 1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \\\text{(iii) } \sum \limits_{n \geq 1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}\\\text{(iv) } \sum \limits_{n \geq 1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2+1} \\\text{(v) } \sum \limits_{n \geq 1}^{\infty} \frac{13}{5n^2+3}$$

Ansätze:

Ich muss ehrlich sagen, dass ich keine richtigen Ansätze habe. Ich hatte dies https://www.mathelounge.de/444828/reihe-1-sqrt-n-konvergent-oder-divergent-nur-antwort-bitte zur (i) gefunden. Danach bin ich jedoch komplett raus und verstehe es nicht so wirklich. Vor allem bei der (ii) hapert es total. Aber auch den Rest verstehe ich nicht so ganz. Ich bin gerade ein wenig verwirrtt und würde mich sehr über jede Hilfe freuen!

Comments

zu (ii) schau dir das Leibniz-Kriterium an und sonst generell schau dir ein paar Konvergenzkriterien für Reihen an. https://www.massmatics.de/merkzettel/#!25:Konvergenzkriterien_fuer_Reihen

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IV könnte man auch so schreiben: (n^2+1-1)/(n^2+1) = 1- 1/(n^2+1) 

Answer 1

1. divergiert nach dem Vergleich mit ∑ 1/n

2. konvergiert nach dem Leibnitzkriterium

3. n/(n^2 + 1) ≥ n/(n^2 + n) = 1/(n + 1) → Die harmonische Reihe divergiert.

4. n^2/(n^2 + 1) ≥ n^2/(n^2 + n^2) = 1/2 → Das divergiert natürlich auch.

5. 13/(5·n^2 + 3) < 13/n^2 → 1/n^2 konvergiert. Daher auch unsere Reihe.

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Vielen Dank!