Wie kann man die n-te Ableitung der Funktion \f(x)=xe^x beweisen?

Question

n-te Ableitung \( f(x) = xe^x \) beweisen:

Problem/Ansatz:

Wie kann man die n-te Ableitung der Funktion \( f(x) = xe^x \) mit Hilfe von Induktion beweisen?

Comments

https://www.mathelounge.de/204719/n-te-ableitung-von-x-e-x

Answer 1

f(x)=x·ex

f '(x)=(x+1)·e^x

f ''(x)=(x+2)·e^x

f '''(x)=(x+3)·e^x

Entdecke ein Muster und beweise dieses durch vollst. Induktion.

Answer 2

Aloha :)

Wir bilden mittels der Produktregel die Ableitungen der gegebenen Funktion:$$f(x)=x\cdot e^x=(x+0)\cdot e^x$$$$f'(x)=\left(\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}=(x+1)\cdot e^x$$$$f''(x)=\left(\underbrace{(x+1)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{(x+1)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}=(x+2)\cdot e^x$$$$f'''(x)=\left(\underbrace{(x+2)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{(x+2)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}=(x+3)\cdot e^x$$Wir vermuten daher folgenden Zusammenhang:$$\pink{f^{(n)}(x)=(x+n)\cdot e^x}$$

Wir beweisen diese Vermutung durch vollständige Indutkion...

1) Verankerung bei \(n=0\):$$f^{(0)}(x)=f(x)=(x+0)\cdot e^x=(x+n)\cdot e^x\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$f^{(n+1)}(x)=\left(\underbrace{(x+n)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right)'=\underbrace{x}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{(x+n)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}=(x+(n+1))\cdot e^x\quad\checkmark$$