Eigenwerte und dazugehörige Eigenvektoren für Matrix berechnen

Question

Gegeben ist die Matrix

\( A = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 } & { \sqrt { 2 } } \\ { 0 } & { \sqrt { 2 } } & { 4 } \end{array} \right) \)

und man soll Eigenwerte und dazugehörige Eigenvektoren berechnen.

Eigenwerte habe ich die folgenden berechnet: 1, 2, 5

Für 2 und 5 habe ich die Eigenvektoren bereits richtig berechnet, für den Eigenwert 1 sollte als Ergebnis (1, 0, 0) herauskommen, ich finde aber keinen Rechenweg der mich dort hinführt.

Answer 1

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & √2 \\ 0 & √2 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \\ \\ x=x\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x\quad beliebig.\quad z.B.\quad x=1\quad wählen.\\ 3y\quad +\quad √2\quad z\quad =\quad y\\ √2\quad y\quad +\quad 4z\quad =\quad z $$

y und z noch explizit berechnen (scheint mir eigentlich überflüssig, kann das aber nicht begründen und mache es deshalb):

$$ 2y\quad +\quad √2\quad z\quad =\quad 0\\ √2\quad y\quad +\quad 3z\quad =\quad 0\\ \\ √2y\quad +\quad \quad z\quad =\quad 0\\ √2\quad y\quad +\quad 3z\quad =\quad 0\\ ----------------\quad \\ -2z\quad =\quad 0\\ z=0\\ \\ √2\quad y\quad +\quad 0\quad =\quad 0\\ y\quad =0 $$