Da ja \( G L_{2}(\mathbb{R}) \) eine Gruppe ist, müss man nur noch zeigen, dass für \( A, B \in G \) auch \( A B \) in \( G \) ist und \( A^{-1} \) in \( G \) liegt.
Seien \( A \) und \( B \) Matrizen aus \( G \):
\( A \cdot B=\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} b_{1,1} & 0 \\ 0 & b_{2,2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} \cdot b_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \cdot b_{2,2} \end{array}\right) \)
\( a_{1,1} \cdot b_{1,1} \cdot a_{2,2} \cdot b_{2,2}=1 \) (da \( A \) und \( B \) in \( G \) sind), ist \( A \cdot B \) auch in \( G \).
\( A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{a_{1,1}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{2,2}} \end{array}\right) \)
\( a_{1,1} \) und \( a_{2,2} \) sind beide ungleich null und (da \( A \) in \( G \) ist) \( A^{-1} \) ist auch in \( G \).