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Aufgabe 3 (10 Punkte)
Eine Abbildung \( f \) ordnet zwei Vektoren \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^{2} \) und \( y=\left(y_{1}, y_{2}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^{2} \) den folgenden Wert zu
\( f(x, y):=x_{1} y_{1}+4 x_{2} y_{2} \)
1. Bestimmen Sie geeignete Definitions- und Wertebereiche der Abbildung \( f \).
2. Zeigen Sie, dass die Abbildung \( f \) ein Skalarprodukt ist.
3. Bestimmen Sie auch Definitions- und Wertebereich der durch dieses Skalarprodukt \( f \) induzierten Norm.
4. Sei nun \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) das Standardskalarprodukt im \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \|\cdot\| \) die induzierte Norm. Zeigen Sie:
\( \forall x, y \in \mathbb{R}^{2}:\langle x+y, x-y\rangle=\|x\|^{2}-\|y\|^{2} . \)
