Hallo :-)
Das Integral kommt im Skriptum gar nicht vor
Dann solltest du erstmal für dich klarmachen, dass das dortige Intergal tatsächlich die Eigenschaften für ein Skalarprodukt erfüllen. Hast du nämlich ein Skalarprodukt \(\langle.,.\rangle\) mit einem Vektorraum \(W\) gegeben, dann kannst du nämlich damit eine Norm \(\|.\|\)durch \(\|w\|:=\sqrt{\langle w, w\rangle}\) erzeugen, \(w\in W\).
u und v als Funktionen sind auch nicht gegeben, oder?
Doch! Schau dir die Abbildung aus der Aufgabe an. Du hast Abbildungen der Form \(u,v:\ [0,1]\to \R\) gegeben. Die Menge der Abbildungen von \([0,1]\) nach \(\R\) (kurz \(\text{Abb}([0,1],\R)\)) bildet einen Vektorraum.
Bisher bin ich auf die Dreiecksungleichung gestoßen, weiß aber nicht wie diese mir helfen soll.
Die wird dir hier wenig nutzen.
Nutze die Eigenschaften des Skalarproduktes:
$$ \|u-v\|^2=\langle u-v,u-v\rangle=... $$