Determinante, Pyramide (Linear Algebra )

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Problem 4 Determinant
Let the corners of a pyramid \( P \) be given by the position vectors
\( \mathbf{a}:=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{b}:=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{c}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{d}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{s}:=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) . \)

Furthermore, let
\( \mathbf{A}:=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -5 \\ -2 & 3 & 1 \end{array}\right) \quad \text { and } \quad \mathbf{B}:=2 \cdot \mathbf{A} \)
and consider the functions \( f_{\mathbf{A}}, f_{\mathbf{B}}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) with
\( f_{\mathbf{A}}(\mathbf{x}):=\mathbf{A} \mathbf{x} \) and \( f_{\mathbf{B}}(\mathbf{x}):=\mathbf{B} \mathbf{x} \) for every \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} \).

Text erkannt:

(a) Determine the volume of the pyramid \( P \).
Hint: If \( F \) is the size of the base area of a pyramid and if \( h \) is the hight of that pyramid, then its volume is \( \frac{1}{3} \cdot F \cdot h \).
(b) Let the pyramid \( P \) be mapped pointwise by \( f_{\mathbf{A}} \) and \( f_{\mathbf{B}} \) to the skewed pyramids \( P_{\mathbf{A}}:=f_{\mathbf{A}}(P) \) and \( P_{\mathbf{B}}:=f_{\mathbf{B}}(P) \), respectively. Calculate the volumes of these two skewed pyramids \( P_{\mathbf{A}} \) and \( P_{\mathbf{B}} \).

Problem: Ich habe für a)  V = 4 raus ist das korrekt? b) Ich verstehe gar nicht wie ich vorangehen solle. Muss ich die Determinante von A ausrechnen ?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Pyramide wird durch die 3 folgenden Vektoren aufgespannt:$$\overrightarrow{DA}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \overrightarrow{DS}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$$

Das Volumen der Pyramide ist \(\frac13\) des Spat-Volumens, das von diesen 3 Vektoren aufgespannt wird. Das Volumen des Spates ist gleich dem Betrag der Determinante aus den 3 aufspannenden Vektoren. Das Volumen der Pyramide beträgt also:$$V(P)=\frac13\cdot\operatorname{det}\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}=\frac13\cdot2\cdot2\cdot3=4$$Die Determinante einer oberen (oder unteren) Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen.

zu b) Nun sind uns zwei Transformationsmatrix vorgegeben:$$\mathbf A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\1 & 0 & -5\\-2 & 3 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\mathbf B=2\cdot\mathbf A$$Beide sollen auf die Pyramide aus Teil (a) wirken und gesucht ist das Volumen der transformierten Pyramiden \(P_A\) und \(P_B\).

Wir schreiben die 3 aufspannenden Vektoren aus Teil (a) in eine Matrix, lassen die Matrix \(\mathbf A\) darauf wirken und berechnen das Volumen der transformierten Pyramide wie oben:

$$\small V(P_A)=\frac13\cdot\operatorname{det}\left(\mathbf A\cdot\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}\right)=\frac13\operatorname{det}(\mathbf A)\cdot\operatorname{det}\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}=\operatorname{det}(\mathbf A)\cdot V(P)$$Wir brauchen also das Volumen aus Teil (a) nur mit der Determinante von \(\mathbf A\) zu multiplizieren:$$\operatorname{det}(\mathbf A)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\1 & 0 & -5\\-2 & 3 & 1\end{array}\right)=-3\cdot(-5-2)=21$$Wir erhalten schließlich:$$V(P_A)=21\cdot4=84$$

Die Berechnung mit \(\mathbf B\) funktioniert analog. Wir brauchen sie aber gar nicht durchzuführen. Jede Zeile der Matrix \(B\) ist doppelt so groß wie die entsprechende Zeile in \(\mathbf A\). Bei der Berechnung der Determinante können wir daher aus jeder Zeile den Faktor \(2\) vor die Determinante ziehen, sodass$$\operatorname{det}(\mathbf B)=\operatorname{det}(2\cdot\mathbf A)=2^3\cdot\operatorname{det}(\mathbf A)=8\cdot21=168$$Damit ist das Volumen der durch \(\mathbf B\) transformierten Pyramide$$V(P_B)=168\cdot4=672$$

Answer 2

Ich habe für a)  V = 4 raus ist das korrekt?  Ja!

b) Du kannst natürlich die 5 Ecken alle mit der

Abbildung abbilden und dann das Volumen der

Bildpyramide wieder mit V=G*h/3 bestimmen.

Comments

Wie ? Indem ich A mit den einzelne Punkten multipliziere?

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Ja genau. Aber die Lösung

von Tschakabumba ist ja viel

eleganter und mit weniger Rechenaufwand

verbunden.

Answer 3

Problem: Ich habe für a)  V = 4 raus ist das korrekt?

V = 1/3·([2, 0, 0] ⨯ [0, 2, 0])·[1, 1, 3] = 4

Ja, dein Ergebnis ist korrekt.

Du könntest natürlich erstmal die Bildpunkte der neuen Pyramide berechnen, und damit dann das Volumen der neuen Pyramide.

Das sollte nicht schwerfallen. Schaffst du das, oder siehst du Probleme?