Aufgabe:
Es seien \( K \) ein Körper, \( n \in \mathbb{N} \) und \( a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n} \in K \). Weisen Sie nach, dass die Matrix \( A \in K^{(n+1) \times(n+1)} \) gegeben durch
\( A_{i, j}:=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=1 \\ b_{i-1}, & i \geq 2 \text { und } i>j \\ a_{i-1}, & i \geq 2 \text { und } i \leq j \end{array}\right. \)
die in der Form
\( A=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ b_{1} & a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & \ldots & a_{2} & a_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & \cdots & b_{n} & a_{n} \end{array}\right) \)
geschrieben werden kann, folgende Determinante besitzt:
\( \operatorname{det} A=\prod \limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right) \)
Problem:
So wie ich es mir gedacht habe, könnte man ab der 2. Zeile jede Zeile darunter miteinander substrahieren, damit man auf eine obere Dreiecksmatrix kommt und dann die Diagonalen miteinander multipliziert. Jedoch bleibt die letzte Zeile dann über und ich weiß nicht wie ich es sonst beweisen sollte.
