Untervektorraum, lineare Abbildung

Question

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Aufgabe 3
a) Sei
\( H:=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f(3)=0\} \subset \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) . \)

Zeigen Sie, dass \( H \) ein Untervektorraum von \( \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) ist.
b) Sei \( A \in \mathbb{R}^{2,2} \) und
\( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad g(x)=A x . \)

Zeigen Sie, dass \( g \) eine lineare Abbildung ist.

Answer 1

a)  Prüfe die Unterraumkriterien

0-Funktion ist in H.

Wenn f und g in H sind, also f(3)=0 und g(3)=0

Dann auch (f+g)(3) = f(3)+g(3) = 0 + 0 =0

Entsprechend folgt für alle a∈ℝ:
wenn f in H , dann auch a*f in H.

Also H Unterraum von \( \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \).

b) Zeige Additivität

 \(  g(x+y)=A\cdot(x+y)=A\cdot + A\cdot y=g(x)+g(y) \)

Und entsprechend Homogenität:

Für alle a∈ℝ:    g(a*x) = a*g(x) .