Jeder Untervektorraum ist das Bild irgendeiner linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Aussage: "Jeder Untervektorraum \( U \subseteq V \) ist das Bild irgendeiner linearen Abbildung."

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist Teil meiner Klausurvorbereitung, ich habe jedoch Schwierigkeiten einen klaren Beweis zu finden. Die Spezialfälle \( U=V \) und \( U \) ist der Nullraum sind klar.

Mein Ansatz wäre jetzt eine beliebige Abbildung \( f:V \rightarrow V \) zu nehmen, für die gilt \( Bild(f) = U \) und zu zeigen, dass diese zwangsläufig linear sein muss. Dabei habe ich jedoch Schwierigkeiten.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Answer 1

Wenn V endlich dimensional ist kann man so argumentieren:

Der Unterraum besitzt eine Basis (v1;v2;...;vn) .

V selbst eine (u1;u2;...;um)  mit m≥n.

Definiere die lineare Abb. f durch

f(u1)=v1 ; f(u2)=v2 etc , also f(ui)=vi) für i<n und

für alle anderen f(ui)=vn.

Und durch die Festlegung auf einer Basis ist die lin. Abb.

eindeutig definiert.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.