Untervektorraum einer Abbildung

Question

Wir betrachten den Vektorraum  Abb(ℕ,ℝ)aller reellwertigen Zahlenfolgen. Darin betrachten wir:

U:= {(a_n)_n∈ℕ ∈ Abb(ℕ,ℝ) | a_n+2 = a_n+a+a_n}

Zeigen sie:
1. U ist ein Untervektorraum

2. U ist endlich erzeugt

 

Zu 1.)
Ich weiß, dass Untervektorräume dadurch definiert sind das gilt:

1.) Nicht leer

2.) Abgeschlossen bezüglich Addition

3.) Abgeschlossen bezüglich Skalarer Multiplikation

So 1.) ist erfüllt da der Nullvektor enthalten ist. Bei 2.) und 3.) weiß ich nicht einmal wo ich anfangen soll... gelten andere Regeln in Abbildungen? Ich hab einfach keine Idee!

Answer 1

Hi,

definiere die Folge \( c_n=a_n+b_n \) wobei für beide Folgen \( a_n \) und \( b_n \) die Eigenschaft der Menge U gilt. Für diese Folge gilt dann $$ c_{n+2}=a_{n+2}+b_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+b_{n+1}+b_{n}=c_{n+1}+c_n $$ und genauso kann man das mit der Skalaren Multiplikation machen. Damit ist bewiesen, das U ein Untervektorraum ist.

Comments

Ah ok danke!
Und wie beweise ich das U endlich erzeugt ist?