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(a) Erklären Sie in Worten, wann eine Funktion \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) in einem Punkt \( \mathbf{x}_{0} \) differenzierbar ist. Wodurch ist die Ableitung einer solchen Funktion in \( \mathbf{x}_{0} \) gegeben? Wie bezeichnet man den entsprechenden Ausdruck?
Was bedeutet Differenzierbarkeit geometrisch in den Fällen \( n=m=1 \) oder \( n=2, m=1 \) ? Was ist der Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und partiellen Ableitungen?
(b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen (stellen Sie Ihre Ergebnisse möglichst einfach dar!)
\( f_{1}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} \ln \left(3 x^{3}+z^{2}\right) \\ e^{3 y} \\ \frac{1}{x^{2}+5 y} \end{array}\right) \quad f_{2}(x, y)=\sqrt{\left(x^{2}+3\right)^{2}+2 y^{2}} \)
Geben Sie für die beiden Funktionen jeweils den (größtmöglichen) Definitionsbereich und die Wertemenge (Bildmenge) an.
Sind die Funktionen auf ihren gesamten Definitionsbereichen differenzierbar? (Begründung!)
(c) Gibt es Punkte im Definitionsbereich von \( f_{1} \) bzw. \( f_{2} \), in deren Umgebung \( f_{1} \) bzw. \( f_{2} \) invertierbar ist?
Wenn ja, geben Sie die Mengen dieser Punkte an. Wenn nein, warum nicht?
Aufgabe:Könnt ihr mir mit dem Rechenweg dieser Aufgabe helfen? Danke im Voraus!
