Eine Polynomfunktion 3.Grades berührt die Gerade 9x-3y=-7 im Punkt

Question

Ich hänge bei dieser Aufgabenstellung und bin total ratlos

Angabe:

Eine Polynomfunktion 3. Grades berührt die Gerade 9x-3y=-7 im Punkt P(1/ (16/3) ) und hat im Punkt H (2/ (20/3) ) einen Hochpunkt. 

a) Stelle die Funktionsgleichung auf und zeige die Übereinstimmung mit y= 1/3 x³ - 3x² + 8x. 

b) Diskutiere die Funktion (inkl. Wendetangente und Zeichung).

c) Berechne die Fläche zwischen der y-Achse, der Funktion und der Wendetangente. 

 

Hoffe es kann mir jemand helfen. 

 

LG

Answer 1

Hier mal ein Einstieg für a). 

Eine Polynomfunktion 3. Grades berührt die Gerade 9x-3y=-7 im Punkt P(1/ (16/3) ) und hat im Punkt H (2/ (20/3) ) einen Hochpunkt. 

a) Stelle die Funktionsgleichung auf und zeige die Übereinstimmung mit y= 1/3 x³ - 3x²+ 8x. 

 

Gerade: 9x-3y=-7      | nach y auflösen

9x + 7 = 3y

3x + 7/3 = y.    Steigung der Geraden m=3

Ansatz für die Funktionsgleichung
y = ax^3 + bx^2 + cx +d

y' = 3ax^2 + 2bx + c             in  P(1/ (16/3) )  Steigung 3; in H (2/ (20/3) )  Steigung 0
3 = 3a + 2b + c         (I)
0 = 12a + 4b + c         (II)
 

 durch  P(1/ (16/3) )  und durch H (2/ (20/3) )  
16/3 = a + b+ c + d          (III)
20/3 = 8a + 4b + 2c + d     (IIII)
_______________________    (IIII)-(III)

4/3 = 7a + 3b + c          (V)

Jetzt kannst du aus (I), (II), (V) die Unbekannten a,b,c berechnen und darauf noch (III) nehmen, um d zu bestimmen.

Alternative: von hier aus y= 1/3 x³ - 3x²+ 8x.
a=1/3, b = -3, c = 8, d=0 ablesen und in die 4 Gleichungen einsetzen. Wenn alles aufgeht, hast du den 2. Teil von Aufgabe a) erledigt. 

b), c) Die Kurvendiskussion kannst du sicher selbst durchführen.

Answer 2

Eine Polynomfunktion 3. Grades berührt die Gerade 9x-3y=-7 im Punkt P(1| (16/3) ) und hat im Punkt H (2| (20/3) ) einen Hochpunkt.

Ich verschiebe den Graph um 20/3  nach unten:   H´ (2| 0 )    und mache weiter mit der Nullstellenform der kubischen Parabel:

f(x)=a*(x-2)^2*(x-N)

P(1| (16/3) ) → P´(1| (-4/3) )

f(1)= a*(1-2)^2*(1-N)=a*(1-N)        a*(1-N) =-4/3      a=4/(3*(N-1))

Steigung der Geraden 9x-3y=-7        m=3

f(x)=4/(3*(N-1))*[(x-2)^2*(x-N)]

f´(x)=4/(3*(N-1))*[2*(x-2)*(x-N)+(x-2)^2*1]

f´(1)=4/(3*(N-1))*[2*(1-2)*(1-N)+(1-2)^2]

4/(3*(N-1))*[2*(1-2)*(1-N)+(1-2)^2]=3      N=5      a=4/(3*(5-1)) =1/3

f(x)=1/3*(x-2)^2*(x-5)

p(x)=1/3*(x-2)^2*(x-5)+20/3