Aufgabe:
Text erkannt:
Sei \( K[X] \) der Polynomring über dem Körper \( K \). Man nennt eine \( K \)-lineare Abbildung \( \delta: K[X] \rightarrow K[X] \) eine \( K \)-Derivation, wenn \( \delta(P Q)=P \delta(Q)+\delta(P) Q \) gilt für alle Polynome \( P, Q \in K[X] \).
(a) Für ein Polynom \( P=a_{0}+a_{1} X+\cdots+a_{n} X^{n} \in K[X] \) bezeichne
\( P^{\prime}:=a_{1}+2 a_{2} X+\cdots+n \cdot a_{n} X^{n-1} \)
die formale Ableitung. Zeigen Sie, dass die Ableitung \( \partial: K[X] \rightarrow K[X] \) mit \( \partial(P):=P^{\prime} \) eine \( K \)-Derivation ist.
(b) Man zeige: Ist \( \delta: K[X] \rightarrow K[X] \) eine beliebige \( K \)-Derivation, so gibt es ein Polynom \( Q \in K[X] \) mit \( \delta(P)=P^{\prime} \cdot Q \).
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( \delta\left(X^{k}\right)=k X^{k-1} \delta(X) \) für alle \( k \geq 0 \) gilt.)
(c) Sei \( P \in K[X] \) ein Polynom vom Grad \( \geq 2 \) mit \( P(a)=P^{\prime}(a)=0 \). Zeigen Sie, dass \( a \) eine doppelte Nullstelle von \( P \) ist, d.h. \( P=(X-a)^{2} Q \) für ein \( Q \in K[X] \).
Problem/Ansatz:
a) ∂(PQ) = (PQ)' = ∂(P)*Q+∂(Q)*P = P'*Q+Q'*P Stimmt das so?
Ab hier weiß ich nicht mehr wie ich vorgehen soll
