Aloha :)
Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe, weil ich ja nicht in der Vorlesung war. Ich könnte mir aber vorstellen, dass das wie folgt gemeint ist.
Wir erstellen uns die Abbildungsmatrix \(D\) für die Abbildung \(\partial\):
$$\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\\\sin t\cos t\\\sin^2t\\\cos^2t\end{pmatrix}\stackrel{\partial}{\to}\begin{pmatrix}\cos t\\-\sin t\\\cos^2t-\sin^2t\\2\sin t\cos t\\-2\sin t\cos t\end{pmatrix}$$$$\qquad=\sin t\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+\cos t\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+\sin t\cos t\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\\-2\end{pmatrix}+\sin^2t\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\0\\0\end{pmatrix}+\cos^2t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\qquad=\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 1\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & -2 & 0 & 0\end{array}\right)\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\\\sin t\cos t\\\sin^2t\\\cos^2t\end{pmatrix}$$
Eine Basis des Bildes dieser Matrix bilden offensichtlich die ersten 4 Spalten-Vektoren, wobei wir den ersten und vierten Spaltenvektor noch mit \((-1)\) multiplizieren und den 3-ten Spaltenvektor noch halbieren können:
$$\operatorname{Basis}(\partial)=\left(\;\cos t\,;\,\sin t\,;\,\sin^2t-\cos^2t\,;\,\sin t\cos t\;\right)$$
Zum Bestimmen der Basis des Bildes haben wir die 4-te Spalte zur 5-ten Spalte addiert, dadurch wird die 5-te Spalte zur Nullspalte. Um eine Basis der Kerns zu erhalten, können wir dieselbe Operation an der \(5\times5\)-Einheitsmatrix durchführen und dort dann die 5-te Spalte auswählen. Das liefert einen Basisvektor für den Kern \((0;0;0;1;1)^T\), sodass:
$$\operatorname{Kern}(\partial)=\left(\;\sin^2t+\cos^2t\;\right)$$
Das ist letztendlich auch klar, weil \(\sin^2t+\cos^2t=1\) ist und die Ableitung \(0\) ergibt.
