Wachstumsfunktion streckfaktor berechnen

Question

Aufgabe:Gegeben ist die Funktion f(x)=1,5^x

a)Bestimme mithilfe des Differenzenquotienten die Ableitung f an einer beliebigen Stelle x und geben sie den Streckfaktor an, mit dem der Graph von f‘ aus dem Graphen f hervor geht.

b) geben sie für die Stelle x=0 die Gleichung der Tangente an dem Graphen von f an. Problem/Ansatz:

Answer 1

DQ=$\frac{1,5^{x+h}-1,5^x}{h}$=$\frac{1,5^x·1,5^h-1,5^x}{h}$=1,5^x·$\frac{1,5^h-1}{h}$.

Nun ist der Grenzwert des Bruches für h→0   ln(1,5) und die Ableitung f'(x)=ln(1,5)·1,5^x.

Comments

$1,5^{x} \cdot\frac{1,5^h-1}{h}$

Nun ist der Grenzwert des Bruches für h→0       ln(1,5)

Damit komme ich nicht klar.

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Etwas ins Unreine geschrieben, exakte Formulierung mit lim-Schreibweise überlasse ich dir :

e^x ≈ (1+x/n)ⁿ für große n, setze h = 1/n
(e^x)^h ≈ 1+ hx für kleine h , setze x = ln a
a^h ≈ 1+ h·ln a
(a^h - 1) / h ≈ ln a für kleine h

Answer 2

a) Ergänzung.

Es gilt: f(x) = a^x -> f '(x) = a^x *lna

Ableitung über: f(x)= a^x = e^(x*lna) -> f '(x) = e^(x*lna)*lna = a^x lna

b) t(x) = (x-0)*f '(0)+f(0)  = lna*x+1

Comments

Damit ist Aufgabe a) aber nicht korrekt beantwortet.

Answer 3

Der Streckfaktor ist ln(1,5).

Answer 4

Aloha :)

zu a) Ich rechne allgemein mit $a>0$ und $a\ne1$ anstatt mit $1,5$.

Die Ableitung von $f(x)=a^x$ mittels des Differentialquotienten lautet:$$\small f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^x\,(a^h-1)}{h}=a^x\,\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$

Zur Bestimmung des verbliebenen Grenzwertes definieren wir den Kehrwert des Zählers als neue Variable und schreiben $h$ in deren Abhängigkeit:$$\small k\coloneqq\frac{1}{a^h-1}\implies a^h=1+\frac1k\implies h\ln(a)=\ln\left(1+\frac1k\right)\implies h=\frac{\ln\left(1+\frac1k\right)}{\ln(a)}$$

Damit können wir den Bruch hinter dem verbliebenen Grenzwert umformen:$$\frac{a^h-1}{h}=\frac{\frac1k}{\frac{\ln\left(1+\frac1k\right)}{\ln(a)}}=\frac{\ln(a)}{k\cdot\ln\left(1+\frac1k\right)}=\frac{\ln(a)}{\ln\left(\left(1+\frac1k\right)^k\right)}$$

Mit $h\to0$ geht per Definition $k\to\infty$ und wir erhalten den gesuchten Grenzwert so:$$\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\ln(a)}{\ln\left(\left(1+\frac1k\right)^k\right)}=\frac{\ln(a)}{\ln(e)}=\ln(a)$$

Damit kennen wir auch den Wert des ursprünglichen Differentialquotienten:$$f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$$Der gesuchte Streckfaktor ist also $\ln(a)$.

zu b) Die Gleichung der Tangente an $f(x)=a^x$ an der Stelle $x_0=0$ lautet:$$t_0(x)=f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=a^0+a^0\ln(a)\cdot x=1+\ln(a)\cdot x$$