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Aufgabe:Gegeben ist die Funktion f(x)=1,5x

a)Bestimme mithilfe des Differenzenquotienten die Ableitung f an einer beliebigen Stelle x und geben sie den Streckfaktor an, mit dem der Graph von f‘ aus dem Graphen f hervor geht.

b) geben sie für die Stelle x=0 die Gleichung der Tangente an dem Graphen von f an. Problem/Ansatz:

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DQ=1,5x+h1,5xh \frac{1,5^{x+h}-1,5^x}{h} =1,5x · 1,5h1,5xh \frac{1,5^x·1,5^h-1,5^x}{h} =1,5x·1,5h1h \frac{1,5^h-1}{h} .

Nun ist der Grenzwert des Bruches für h→0   ln(1,5) und die Ableitung f'(x)=ln(1,5)·1,5x.

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1,5x1,5h1h1,5^{x} \cdot\frac{1,5^h-1}{h}

Nun ist der Grenzwert des Bruches für h→0       ln(1,5)

Damit komme ich nicht klar.

Etwas ins Unreine geschrieben, exakte Formulierung mit lim-Schreibweise überlasse ich dir :

ex ≈ (1+x/n)n für große n, setze h = 1/n
(ex)h ≈ 1+ hx für kleine h , setze x = ln a
ah ≈ 1+ h·ln a
(ah - 1) / h ≈ ln a für kleine h

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a) Ergänzung.

Es gilt: f(x) = ax -> f '(x) = ax *lna

Ableitung über: f(x)= ax = e^(x*lna) -> f '(x) = e^(x*lna)*lna = ax lna

b) t(x) = (x-0)*f '(0)+f(0)  = lna*x+1

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Damit ist Aufgabe a) aber nicht korrekt beantwortet.

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Der Streckfaktor ist ln(1,5).

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Aloha :)

zu a) Ich rechne allgemein mit a>0a>0 und a1a\ne1 anstatt mit 1,51,5.

Die Ableitung von f(x)=axf(x)=a^x mittels des Differentialquotienten lautet:f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0ax+haxh=limh0ax(ah1)h=axlimh0ah1h\small f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^x\,(a^h-1)}{h}=a^x\,\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}

Zur Bestimmung des verbliebenen Grenzwertes definieren wir den Kehrwert des Zählers als neue Variable und schreiben hh in deren Abhängigkeit:k1ah1    ah=1+1k    hln(a)=ln(1+1k)    h=ln(1+1k)ln(a)\small k\coloneqq\frac{1}{a^h-1}\implies a^h=1+\frac1k\implies h\ln(a)=\ln\left(1+\frac1k\right)\implies h=\frac{\ln\left(1+\frac1k\right)}{\ln(a)}

Damit können wir den Bruch hinter dem verbliebenen Grenzwert umformen:ah1h=1kln(1+1k)ln(a)=ln(a)kln(1+1k)=ln(a)ln((1+1k)k)\frac{a^h-1}{h}=\frac{\frac1k}{\frac{\ln\left(1+\frac1k\right)}{\ln(a)}}=\frac{\ln(a)}{k\cdot\ln\left(1+\frac1k\right)}=\frac{\ln(a)}{\ln\left(\left(1+\frac1k\right)^k\right)}

Mit h0h\to0 geht per Definition kk\to\infty und wir erhalten den gesuchten Grenzwert so:limh0ah1h=limkln(a)ln((1+1k)k)=ln(a)ln(e)=ln(a)\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\ln(a)}{\ln\left(\left(1+\frac1k\right)^k\right)}=\frac{\ln(a)}{\ln(e)}=\ln(a)

Damit kennen wir auch den Wert des ursprünglichen Differentialquotienten:f(x)=axln(a)f'(x)=a^x\cdot\ln(a)Der gesuchte Streckfaktor ist also ln(a)\ln(a).

zu b) Die Gleichung der Tangente an f(x)=axf(x)=a^x an der Stelle x0=0x_0=0 lautet:t0(x)=f(0)+f(0)(x0)=a0+a0ln(a)x=1+ln(a)xt_0(x)=f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=a^0+a^0\ln(a)\cdot x=1+\ln(a)\cdot x

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