Aloha :)
zu a) Ich rechne allgemein mit a>0 und a=1 anstatt mit 1,5.
Die Ableitung von f(x)=ax mittels des Differentialquotienten lautet:f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhax+h−ax=h→0limhax(ah−1)=axh→0limhah−1
Zur Bestimmung des verbliebenen Grenzwertes definieren wir den Kehrwert des Zählers als neue Variable und schreiben h in deren Abhängigkeit:k : =ah−11⟹ah=1+k1⟹hln(a)=ln(1+k1)⟹h=ln(a)ln(1+k1)
Damit können wir den Bruch hinter dem verbliebenen Grenzwert umformen:hah−1=ln(a)ln(1+k1)k1=k⋅ln(1+k1)ln(a)=ln((1+k1)k)ln(a)
Mit h→0 geht per Definition k→∞ und wir erhalten den gesuchten Grenzwert so:h→0limhah−1=k→∞limln((1+k1)k)ln(a)=ln(e)ln(a)=ln(a)
Damit kennen wir auch den Wert des ursprünglichen Differentialquotienten:f′(x)=ax⋅ln(a)Der gesuchte Streckfaktor ist also ln(a).
zu b) Die Gleichung der Tangente an f(x)=ax an der Stelle x0=0 lautet:t0(x)=f(0)+f′(0)⋅(x−0)=a0+a0ln(a)⋅x=1+ln(a)⋅x