3 Vektoren liegen in einer Ebene, senkrechten Vektor finden

Question

Aufgabe:

Die drei Vektoren liegen in einer Ebene \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \)   \( \begin{pmatrix} 1\\4\\3 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 5\\10\\9 \end{pmatrix} \)

Geben Sie einen Vektor an der senkrecht auf dieser Ebene steht.

Problem/Ansatz:

Wäre das so richtig:

ab = b-a = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

ac = c-a =\( \begin{pmatrix} 4\\7\\7 \end{pmatrix} \)

und dann das Kreuzprodukt von ab und ac = \( \begin{pmatrix} 0\\4\\-4 \end{pmatrix} \)

Comments

Vielleicht sind auch keine Vektoren, sondern Punkte gemeint.

Answer 1

Nimm doch einfach zwei der gegebenen Vektoren und bilde deren Kreuzprodukt. Aber die drei Vektoren liegen nicht in einer Ebene! Da liegt der Hase im Pfeffer.

Comments

So einfach kann die Aufgabe nicht erledigt werden.

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Man sollte evtl. sehen, dass die drei Vektoren nicht linear Abhängig sind und daher nicht in einer Ebene liegen. Vermutlich gehts um Punkte mit den Ortsvektoren.

Oder die Vektoren sind falsch abgeschrieben worden.

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Oder die Vektoren sind falsch abgeschrieben worden.

Korrekturmöglichkeit : erste Koordinate von c ist nicht 5 sondern 3

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Also die Aufgabe ist richtig nur , dass sie unterteilt ist in a) Zeigen Sie Die drei Vektoren liegen in einer Ebene.

und

b) Geben Sie einen Vektor an der senkrecht auf diese Ebene steht.

Aber wenn sie nicht in einer Ebene liegen macht b kein Sinn deswegen bin ich erstmal davon ausgegangen, dass sie in einer Ebene liegen.

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Aber aus der Matrix bekomme ich Det= 0 raus das heißt doch eigentlich, dass sie in einer Ebene liegen oder nicht?

Answer 2

Die Aufgabe müsste genauer lauten: Die drei Punkte mit den angegebenen Ortsvektoren liegen in einer Ebene.

[1, 4, 3] - [1, 2, 3] = [0, 2, 0]

[5, 10, 9] - [1, 2, 3] = [4, 8, 6]

[0, 2, 0] ⨯ [4, 8, 6] = [12, 0, -8] = 4·[3, 0, -2]

Entweder stimmen die Angaben der Vektoren nicht oder deine Lösung ist falsch. Lautet also z.B. der erste Vektor statt [1, 2, 3] zufällig [1, 3, 2]?

Comments

stimmen die Angaben der Vektoren nicht

Korrekturmöglichkeit : Vertauschen der 2. und 3. Koordinate von a. (Mein Favorit)

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@Gast hj2166

Ja. Dein Beitrag hatte sich mit meiner Ergänzung überschnitten.

Trotzdem wäre dann noch die Aufgabenstellung verkehrt, wenn auch die 3 Vektoren sind dann nicht linear abhängig.

Auf jeden Fall kann man festhalten, dass die Aufgabe wie hier angegeben murks ist.

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wenn auch die 3 Vektoren sind dann nicht linear abhängig.

Das dürfen sie auch nicht sein, wenn die drei Punkte eine Ebene festlegen sollen, also in diesem Falle keine verkehrte Aufgabenstellung.

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Also die Aufgabe ist richtig nur , dass sie unterteilt ist in a) Zeigen Sie Die drei Vektoren liegen in einer Ebene.
und
b) Geben Sie einen Vektor an der senkrecht auf diese Ebene steht.


Aber wenn sie nicht in einer Ebene liegen macht b kein Sinn deswegen bin ich erstmal davon ausgegangen, dass sie in einer Ebene liegen.

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Aber aus der Matrix bekomme ich Det= 0 raus das heißt doch eigentlich, dass sie in einer Ebene liegen oder nicht?

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Die drei Punkte liegen in einer Ebene. Das muss auch so sein. Wenn drei Punkte gegeben sind gibt es mind. eine Ebene in der diese drei Punkte enthalten sind.

Die drei Vektoren würden in einer Ebene liegen, wenn die Determinante Null ist. Dann darfst du aber nicht die Richtungsvektoren des Dreiecks der Drei Punkte nehmen.

DET([1, 2, 3; 1, 4, 3; 5, 10, 9]) = -12

Hier ist es übrigens egal ob man die Vektoren wie ich waagerecht oder senkrecht notiert.

Skizze

In der Skizze siehst du deutlich das die Ebene in der die drei Punkte liegen nicht die Ebene ist in der die drei Vektoren liegen.