Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P der Ebene E durch B, T und L (Drehebene) mit g!

Question

Hallo, kann mir jemand bei Aufgabe helfen ich bin etwas überfordert ^^'

Gegeben sind die Punkte Q(0,0,0), D(3,3,3) und B(3,0,0). Dabei ergebe sich der Punkt B durch Drehung
eines Punktes T an der Gerade g durch Q und D um 90°, wobei die Drehung von Q aus Richtung D betrachtet im
Uhrzeigersinn erscheint.

(a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P der Ebene E durch B, T und L (Drehebene) mit g!

Bei der Aufgabe dachte ich man könnte die Formel \( \vec{x} \)_{\( \vec{a} \)} = \( \frac{\vec{x} * \vec{a}}{\vec{||a||}} \) anwenden?

(b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes T, indem Sie zunächst ein Vielfaches des Vektors von P nach T als
Kreuzprodukt bestimmen

(c) Bestimmen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks TP B bei B

Danke für die Hilfe

Comments

Was ist L? Was wird gedreht Q oder B?

weiter: auch die b) ergibt keinen Sinn in dieser Darstellung

Bevor Du irgend welche Formeln ausgräbst solltest Du eine Zeichnung anlegen

==>Geoknecht, GeoGebra?

Answer 1

Hallo,

(a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P der Ebene E durch B, T und L (Drehebene) mit g!

was \(L\) sein soll ist nicht definiert. Aber da \(E\) zwangsläufig senkrecht zu \(g\) liegt, und \(E\) den Punkt \(B\) enthält, ist \(E\) damit festgelegt. Die Gerade \(g\) mit Richtungsvektor \(\vec n\) ist$$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} t, \quad \vec n = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$und somit ist \(E\)$$E: \quad \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot B = 3$$Einsetzen von \(g\) in \(E\) liefert$$\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} t_P = 3 \implies 3t=3 \implies t_P=1$$und der Punkt \(P\) liegt somit bei $$P = g(t_P=1) =  \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$

(b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes T, indem Sie zunächst ein Vielfaches des Vektors von P nach T als
Kreuzprodukt bestimmen

Dazu erstmal ein Bild

Die Vektoren \(\vec{PB}\) und \(n\) stehen senkrecht auf einander. Ebenso soll \(\vec{PT}\) senkrecht auf \(\vec{PB}\) stehen, wegen der erforderlichen 90°-Drehung. Und da \(\vec{PT}\) in der Ebene \(E\) liegt, steht \(\vec{PT}\) auch senkrecht auf \(\vec n\). Außerdem muss \(|\vec{PT}| = |\vec{PB}|\) sein, da \(B\) durch eine Drehung um \(P\) aus \(T\) hervor geht. Folglich ist$$\vec{PT} = \vec{PB} \times \frac{\vec n}{|\vec n|} = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \times \frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ -\sqrt 3\\ \sqrt 3\end{pmatrix}\\ \implies T = P + \vec{PT} = \begin{pmatrix}1\\ 1-\sqrt 3\\ 1+\sqrt 3\end{pmatrix}$$Und warum es nicht \(\vec n/|\vec n| \times \vec{PB}\) heißt, überlege man sich an Hand des Bildes oben!

(c) Bestimmen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks TP B bei B

das ist trivial! Da das Dreieck \(\triangle BTP\) ein rechtwinkliges und gleischschenkliges Dreieck ist, muss \(\angle TBP = 45°\) sein (der Basiswinkel).

Gruß Werner