Injektivität und Surjektivität bei Potenzmengen

Question

Aufgabe:

Es seien M={1,2,3,4,5} und P(M) die potenzmenge von M.
Ist die Abbildung
f:P(M)–>P(M)
A–> A\{1}.
Injektiv, surjektiv

Problem/Ansatz:

Ich kann mein Wissen nicht auf die Potenzmenge anwenden. Komme da nur zu Müll.

Comments

Wofür steht A?

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Das steht nicht in der Aufgabe eventuell für eine teilmenge ?

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Das, vermute ich, ist die"Laufvariable" zur Definition von f: Jede Telmenge A von M wird auf A ohne 1 abgebildet.

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Oh okay. Und wie überprüft man das dann

Answer 1

Die Def. von injektiv (für alle x, y: f(x)=f(y) -> x=y) und surjektiv (jedes y aus dem Wertebereich muss Funktionswert sein) sind stets gleich, egal um was für Objekte es geht.

"surjektiv" ist vielleicht einfacher, fang damit an.

Comments

Also ich hab herausgefunden, dass es nicht surjektiv ist. Aber injektiv habe ich nicht verstanden bei der Aufgabe

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Gut, es ist nicht surjektiv. Es geht übrigens bei solchen Aufgaben nicht nur um das richtige Ergebnis, sondern auch um das strukturierte Aufschreiben mit Begründungen, kannst gerne Deine Begründung zur Kontrolle liefern.

Injektiv: Mach Dir die Abbildung klar. Die Abbildung lautet: "das Element 1 rausnehmen, wenn es drin ist". Wenn ich also damit zwei Mengen behandelt habe und die Ergebnisse, nach Behandlung mit der Abb., sind gleich, sind dann die Ausgangsmengen auch gleich gewesen?

Oder: Wenn ich von zwei Mengen das Element 1 rausnehme, wenn es vorher drin war(!), und die sind dann gleich, waren sie vorher auch gleich?

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Um herauszufinden, ob die Abbildung f injektiv oder surjektiv ist, schauen wir uns zunächst die Definitionen an.

Eine Abbildung f : A -> B heißt injektiv, wenn für jedes Element x,y in A gilt: Wenn f(x) = f(y), dann ist x = y.

Eine Abbildung f : A -> B heißt surjektiv, wenn für jedes Element y in B ein Element x in A existiert, sodass f(x) = y.

In diesem Fall ist die Abbildung f: P(M) -> P(M), wobei P(M) die Potenzmenge von M ist und f(A) = A\{1}.

Um zu überprüfen, ob f injektiv ist, nehmen wir an, dass f(x) = f(y) für zwei beliebige Mengen x und y in P(M) gilt. Das bedeutet, dass x\{1} = y\{1}. Wenn wir das ausmultiplizieren, erhalten wir x = y. Daher ist die Abbildung f injektiv.

Um zu überprüfen, ob f surjektiv ist, müssen wir zeigen, dass für jedes y in P(M) ein x in P(M) existiert, sodass f(x) = y. Betrachten wir y = M\{1}. Es gibt jedoch keine Menge x in P(M), deren Differenz mit {1} gleich M\{1} ist. Daher ist die Abbildung f nicht surjektiv.

Zusammenfassend ist die Abbildung f: P(M) -> P(M), definiert als A -> A\{1}, injektiv, aber nicht surjektiv.

Stimmt das so

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Nein. Zum Widerlegen von surjektiv gib ein konkretes Gegenbeispiel. Hast du versucht, aber ein falsches erwischt, denn natürlich gibt es x mit f(x)=M\{1}. Nämlich x=M.

f ist nicht injektiv. Es gibt hier kein Ausmultiplizieren. Probiere konkrete Beispiele aus.

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Wenn wir das ausmultiplizieren, erhalten wir x = y. Daher ist die Abbildung f injektiv.

Ich möchte dich weder beleidigen noch dir sehr nahe treten, aber: Was du hier geschrieben hast, ist auf so vielen Ebenen falsch, dass ich denke, dass die Lösung dieser Aufgabe dir eigentlich nichts bringen wird. Deine Kenntnis über die Basics von Mengen ist so löchrig, dass du hier schnellstens nochmal "von 0 auf" alles nacharbeiten musst.

Mit Mengen kann man nicht so einfach rechnen wie mit Zahlen, das verhält sich ganz anders und sollten eigentlich Teil der ersten zwei-drei Wochen deines Moduls gewesen sein.

Deine Abbildung kann rein intuitiv nicht injektiv sein, denn: Deine Abbildung "vergisst" die 1, kann also nicht "unterscheiden" zwischen z.B. der Menge \(\{1,2\}\) und der Menge \(\{2\}\). Formell würdest du diese beiden Inputs angeben und als Gegenbeispiel zeigen, dass sie den gleichen Funktionswert besitzen, was Injektivität widerlegt. Bevor du so einen Beweis führst, muss du aber also mit Intuition erstmal auf die richtige Fährte kommen.

Wie gesagt, eigentlich ist das nicht schwer, aber dafür MÜSSEN die Basics aufgearbeitet werden. Level-2-Aufgaben sollte man nicht üben, wenn man noch Schwierigkeiten mit Level-1-Dingen hat.

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Ich sehe das nicht so dramatisch. Du bist kommunikationswillig und -fähig und hast Du die Def. rausgesucht und richtig abgeschrieben (an all dem scheitert nicht wenige Frager hier).

Zur Veranschaulichung der Begriffe im Zushg mit "Funktion" siehe auch https://madipedia.de/wiki/Pfeildiagramm

Zur konkreten Funktion hier: wie schon gesagt, probier ein paar Beispiele aus (schreib konkret hin, was x und was f(x) ist.

Dann wird das schon.