Lagrange Optimierungsproblem Gewinnmaximum

Question

Aufgabe:

Es sei die folgende Produktionsfunktion (in Kilogramm) gegeben, die von x kg
von Ressource 1 sowie y kg von Ressource 2 abhängt:
P(x,y) = 10 - 4/x - 1/y          x,y >= 0
Die Ressource 1 kostet 1 Euro pro Kilo, die Ressource 2 kostet 4 Euro pro
Kilo. Das Produkt kann für 9 Euro pro Kilo verkauft werden. Der Gewinn soll
maximiert werden.

a) Stellen Sie das Optimierungsproblem auf.
b) Berechnen Sie den maximalen Gewinn. Hinweis: Überprüfen Sie das not-
wendige und hinreichende Kriterium für ein Maximum.

Problem/Ansatz:

Das ganze soll mit Lagrange gelöst werden, da als hinweis stand wir brauchen das Hinreichende und Notwendige Kriterium
aber ich weiß nicht welcher Funktion ich ein Lambda mitgeben kann.

Ich habe folgende Funktionen für die Gewinnfunktion aufgestellt:

K = x +4y
E= 9*P(x,y) => 90 - 36/x - 9/y
G(x,y,)= 90 -36/x -9/y - (x+4y)

Jetzt bin ich mir unsicher ob ich hier eine Nebenbedingung vergessen habe der ich ein Lambda mitgeben kann oder der Kostenfunktion ein Lambda geben muss

Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe.

Comments

Das ganze soll mit Lagrange gelöst werden, da als hinweis stand wir brauchen das Hinreichende und Notwendige Kriterium

Das wird nicht verlangt, auch nicht implizit. Es sprcht aber nichts dagegen, Optimierungen unter Nebenbedingung mit Lagrange zu tun.

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Verstehe, welcher Funktion müsste ich denn ein Lambda mitgeben damit ich Lagrange verwenden kann?

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Das lambda steht üblicherweise nicht bei einer Funktion, sondern bei der Nebenbedingung. Und die sollte in der Antwort zu Frage a) stehen.

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L(x,y,)= 90 - 36/x -9/y - (x+4y) - λx -λy?

Wäre jetzt meine überlegung. Ich will nur nicht weitermachen bevor ich weiß das die Lagrange Funktion stimmt.

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Dazu solltest Du Dir klar werden, was ist die Zielfunktion und was ist die Nebenbedingung.

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Die Zielfunktion ist meiner Meinung nach die Gewinnfunktion G diese erhalte ich dadurch das ich die Erlösfunktion von der Kostenfunktion abziehe. Also 90 - 36/x - 9/y - (x +4y), aber weitere Nebenbedingungen Lese ich aus dem Text leider nicht raus

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erhalte ich dadurch das ich die Erlösfunktion von der Kostenfunktion abziehe

eher umgekehrt:

G(x, y) = 9*(10-4/x-1/y) - (x+4y)

Eine Nebenbedingung (abgesehen von den beiden Nichtnegativitätsbedingungen) sehe ich auch nicht, also würde ich prüfen, ob die Aufgabe wirklich so lautet.

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Hmm wenn ich Lagrange garnicht brauche muss ich die Funktion einfach nur 2 mal partiell ableiten nach x und y und einmal nach xy und schauen welcher punkt mir den maximalen gewinn gibt?

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Wenn Du Probleme mit der Unterscheidung hast: Die Zielfunktion ist - wie der Name schon sagt - eine Funktion. Das ist das, was optimiert werden soll. Die NB ist - wie der Name schon sagt - eine Bedingung, also eine Aussage und eben keine Funktion. Diese Bedingung ist oft eine Gleichung. Erst wenn Du beides klar und sauber notiert hast, geht es an die L-Funktion.

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Da der MaxGewinn gesucht ist hätte ich gesagt das G(x,y)= 9*(10-4/x-1/y)-(x+4y) die Zielfunktion ist. Und die einzige Bedingung die ich rauslesen kann ist x,y >= 0. Oder übersehe ich was?

Answer 1

Das sehe ich genauso (dass es nur die Bedingung \(x,y\ge 0\) gibt) und sehe daher nicht, wo hier der übliche Weg mit Lagrange-Multiplikatoren ansetzen soll.

Stattdessen bestimme, wie Du ja ahnst, den Gradienten, setze den =Nullvektor und bestimme die Kandidaten für Extrema. Mit der Hesse-Matrix kann man prüfen (klappt nicht immer), ob es ein Max. oder Min. ist.

(6, 1.5) ist der einzige Kandidat für ein lok. Extremum und dort ist die Hesse-Matrix auch negativ definit.