Auf dem Intervall \( I=[0,2] \) seien die Knoten \( x_{0}=0, x_{1}=1 \) und \( x_{2}=2 \) gegeben, \( X=\left\{x_{0}, x_{1}, x_{2}\right\} \). Sei \( S^{3}(X) \) der Vektorraum der kubischen Splines mit natürlichen Randbedingungen.
(a) Welche der folgenden Funktionen sind in \( S^{3}(X) \) ? Begründen Sie ihre Antwort.
\( \begin{array}{l} f_{1}(x)=x^{2}(x-6)-(x-2)^{2}, \\ f_{2}(x)=\max \{0, x-1\}^{3}-\frac{1}{2} x^{3}, \\ f_{3}(x)=x^{3}-x^{2} . \end{array} \)
(b) Bestimmen Sie den interpolierenden Spline \( s \in S^{3}(X) \) von \( f(x)=x^{3} \) mit den oben angegebenen Knoten.
Meine Vermutung:
f_{1}(x) und f_{3}(x) nein wegen Natürlicherbedingung
f_{2}(x) tendiere ich zu nein bin mir aber nicht sicher