Eure Expertise gefragt :D - Extremstellen

Question

Aufgabe: Bitte bestimmen Sie alle globalen Extremstellen, ihren jeweiligen Typ (Maximalstelle oder Minimalstelle) und die zugehörigen Extrema der folgenden Funktionen:

Bitte um einen ausführlichen Rechnungsweg :)

Vielen Dank im voraus!

f: (0,+∞) --> ℝ

f(x) = \( \frac{ln(1+x)}{1+x} \)

Answer 1

Extremstellen, hmm.

Vielleicht bei x = e-1

Comments

Hey! Danke für die Hilfe! Ich bräuchte allerdings den Rechenweg um es rechnerisch nachvollziehen zu können.

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ableiten, gleich null setzen, nach x auflösen...

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Bitte etwas genauer

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@Winniepooh: Randextremstelle - findet man nicht mit Ableitung gleich null setzen, dürfte aber trotzdem klar sein.

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Bitte etwas genauer

Kommentiert vor 3 Minuten von Gast hj2166

Bitte etwas genauer: Was willst du konkret genauer?

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Dass dös meinen Kommentar nicht verstanden hat muss ich hinnehmen, aber dass du mit einer Rückfrage statt mit einer genaueren Antwort reagierst, das enttäuscht.

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@HJ: Dein Kommentar hatte sich mit meinem Kommentar überschnitten.

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Dann gib doch die "Randextremstelle" mal an.

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Gut, dass steht und fällt damit, ob die runde Klammer bei 0 tatsächlich als runde Klammer gemeint oder nur ein Schreibversehen war.

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So sieht die Aufgabenstellung original aus.

Text erkannt:

(a) \( f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} \),
\( f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x} . \)

Vielen Dank für die Antwort bisher.

Answer 2

f(x) = LN(x + 1) / (x + 1)

f'(x) = (1 - LN(x + 1)) / (x + 1)^2 = 0

1 - LN(x + 1) = 0
LN(x + 1) = 1
x + 1 = e
x = e - 1

f(e - 1) = 1 / e → HP(e - 1 | 1 / e)

Comments

Vielen Dank!

Answer 3

f '(x):

u= ln(1+x) , u' = 1/(1+x)

v= 1+x, v' = 1

-> [1/(1+x)*(1+x) - ln(1+x)*1]/(1+x)^2  = (1-ln(1+x))/(1+x)^2

f '(x) =0

xE = ...

Lösung einsetzen in:

f ''(x):

u= 1-ln(1+x), u' = - 1/(1+x)

v= (1+x)^2, v'= 2(1+x)

.....

f ''(xE) <0 -> Maximum

f ''(xE) > 0 -> Minimum

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Danke für die Hilfe!