Analysis 2 Aufgabe zu Extremstellen. Bestimmen Sie Dosis d und Zeit t , so dass W(d, t) maximal wird.

Question

ich habe hier eine Aufgabe aus der Analysis, bei der ich den Zusammenhang zur Analysis nicht verstehe:

Die Wirkung eines Medikaments sei durch die folgende Funktion beschrieben:
\( W(d, t)=d^{2}(a-d) t^{2} \mathrm{e}^{-t} \)
Dabei ist \( d \) die Dosis, \( t \) die Zeit nach der Einnahme, \( a>0 \) eine vom Medikament abhängige Konstante, und der Definitionsbereich ist \( \left\{(d, t) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq d \leq\right. \) \( a, t \geq 0\} \). Bestimmen Sie Dosis \( d \) und Zeit \( t \), so dass \( W(d, t) \) maximal wird.

Mit dem was wir bisher behandelt haben (Taylor, Hessematrix, Gauß, Richtungsableitungen, Differentierbarkeit, Definitheit und co) hat das alles irgendwie überhaupt nichts zu tun. Ich weiß nicht wirklich, was hier gefordert wird. Kann mir jemand bitte einen Hinweis geben, in welche Richtung ich denken muss?

Comments

Mit dem was wir bisher behandelt haben (Taylor, Hessematrix, Gauß, Richtungsableitungen, Differentierbarkeit, Definitheit und co) hat das alles irgendwie überhaupt nichts zu tun.

Aha.

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie Dosis d und Zeit t , so dass W(d, t) maximal wird.

Stichworte: ableitungen,differentialgleichungen,temperatur,funktion

Ana2

Die Wirkung eines Medikaments sei durch die folgende Funktion beschrieben:

W(d, t)=d²(a-d)t²e^-t
Dabei ist \( d \) die Dosis, \( t \) die Zeit nach der Einnahme, \( a>0 \) eine vom Medikament abhängige Konstante, und der Definitionsbereich ist \( \left\{(d, t) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq d \leq\right. \) \( a, t \geq 0\} \). Bestimmen Sie Dosis \( d \) und Zeit \( t \), so dass \( W(d, t) \) maximal wird.

Könnte mir jemand diese Aufgabe vorrechnen, verstehe die nicht so ganz?

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Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/856961/analysis-2-aufgabe-zu-extremstellen

Answer 1

\( W(d, t)=d^{2} \cdot(a-d) \cdot t^{2} \cdot e^{-t} \)
\( W(d, t)=d^{2} \cdot(a-d) \cdot \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}=\frac{\left(a \cdot d^{2}-d^{3}\right) \cdot t^{2}}{e^{t}}=\frac{a d^{2} t^{2}-d^{3} \cdot t^{2}}{e^{t}}=a d^{2} \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}-d^{3} \frac{t^{2}}{e^{t}} \)
\( \frac{d W(d, t)}{d d}=2 a d \frac{t^{2}}{e^{t}}-3 d^{2} \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}} \)
\( \frac{d W(d, t)}{d t}=a \cdot d^{2} \cdot \frac{2 t \cdot e^{t}-t^{2} \cdot e^{t}}{\left(e^{t}\right)^{2}}=a \cdot d^{2} \cdot \frac{2 t-t^{2}}{e^{t}} \)
1.) \( 2 a d \frac{t^{2}}{e^{t}}-3 d^{2} \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}=0 \)
2.) \( d\left(2 a \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}-3 d \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}\right)=0 \)
1. \( d_{1}=0 \)
\( 2 a \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}-3 d \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}=0 \)
\( 3 d \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}}=2 a \cdot \frac{t^{2}}{e^{t}} \)
\( 3 d=2 a \)
\( d_{2}=\frac{2}{3} a \)
2. \( ) \cdot \cdot d^{2} \cdot \frac{2 t-t^{2}}{e^{t}}=0 \)
\( 2 t-\frac{t^{2}}{e^{t}}=0 \)
\( 2 t-t^{2}=0 \)
\( t \cdot(2-2 t)=0 \)
\( t_{1}=0 \)
\( 2-2 t=0 \)
\( t_{2}=1 \)
\( w\left(\frac{2}{3} a, 1\right)=\left(\frac{2}{3} a\right)^{2} \cdot\left(a-\frac{2}{3} a\right) \cdot 1^{2} \cdot e^{-1}=\frac{4}{9} a^{2} \cdot \frac{1}{3} a \cdot e^{-1}=\frac{4}{27} \cdot \frac{a^{3}}{e} \)

Comments

!

Ich frage mich ehrlich, warum du kein Stern bekommen hast :D

Answer 2

Hallo

im Max muss dD/dd=0 und dD/dt=0 sein,

Gruß lul

Answer 3

W _a ( d ,t ) =  ....

Mit Matheprogramm
1.Ableitung nach d und t
Wd = diff ( W ,d )
Wt = diff ( W, t )

Extrema
wd = 0
wt = 0

Dann d und t ausrechnen.
Leider kam nichts vernünftiges dabei raus;