Ableitung vereinfachen cotangens

Question

Aufgabe:

\(\frac{Sin(x) - x cos(x)}{x sin(x)}\)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie daraus \( \frac{1}{x} \)- cot(x) rauskommem soll. Weder das mit dem cotangens, noch das mit dem x im Nenner, woher kommt das?

Gruß neo

Answer 1

$$\frac{\sin(x) - x \cdot \cos(x)}{x \cdot \sin(x)} \newline = \frac{\sin(x)}{x \cdot \sin(x)} - \frac{x \cdot \cos(x)}{x \cdot \sin(x)} \newline = \frac{1}{x} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \newline = \frac{1}{x} - \cot(x)$$

Comments

Ganz wichtig. Das hat erstmal noch gar nichts mit irgendeiner Ableitung zu tun. Das sind erstmal nur essenzielle Termumformungen gewesen.

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Die ursprüngliche Aufgabe war die Ableitung von ln(\( \frac{3x}{sin(x)} \))

Vielen Dank für die Lösung!

Answer 2

Es geht nur darum, Teilbrüche zu bilden.

(a -bc)/(ba) = a/(ba) - bc/(ba) = 1/b - c/a

Und man muss wissen, das cos/sin = 1/(sin/cos)= 1/tan = cot